M601 Vektor (Analisis Geometri) : Definisi dan Resultan

Halo, kembali bersama saya di Banker Mafia. Kali ini kita akan membahas mengenai vektor, yaitu suatu besaran memiliki nilai dan juga sekaligus ada aranya. Itu sebabnya dalam perhitungannya nanti ya teman-teman ya, operasi hitungnya itu tidak sama ketika kita menghitung besaran skalar atau besaran yang hanya memiliki nilai. Ambil contoh misalkan, 3 meter ke kanan tambah 4 meter ke atas.

Nah kalau cuma 3 meter sama 4 meter tanpa keterangan Mungkin sekali itu adalah skalar Tapi karena ada 3 meter ke kanan berarti ini ada keterangan tambahan Tidak hanya nilai tapi ada arahnya Lalu 4 meter ke atas tidak hanya nilai tapi juga ada arahnya yaitu ke atas Maka ketika di jumlah ini tidak bisa jadi 3 tambah 4 jadi 7 Masalahnya 7 ini jadi 7 meter apa gitu ya Nah itu sebabnya dalam hal ini kita perlu melihat suatu operasi hitung untuk fact

agar kita bisa menghitung hal-hal seperti semacam demikian. Hal-hal besaran yang melibatkan yang namanya arah, maka operasi hitungnya harus menjadi seperti apa. Nah, teman-teman, ini tidak sama. Itu sebabnya secara gambar, kalau kita lihat,

3 meter ke kanan, 4 meter ke atas Maka ini sama saja dengan kita berjalan dari sini ke sini Dari kiri bawah ke kanan atas Nah ini adalah jumlahnya sebenarnya Jadi jumlah daripada dua vektor ini tidak sama dengan 3 tambah 4, 7 Tapi adalah sisi miring ini dengan sudut tertentu Atau sisi miring ini dengan arah tertentu gitu ya Nah jadi jawabannya sebenarnya apa? Disini 5 meter Lalu disini kalau kita menghitung ternyata alfa atau sudutnya 53 derajat

Jadi hasilnya adalah sebenarnya 3 meter ke kanan tambah 4 meter ke atas adalah sebenarnya dia bergerak ke kanan atas ya, ke kanan atas.

Atau dengan kata lain 5 meter dengan sudut 5,3 derajat terhadap sumbu X positif. Jadi kanan atas ini jawabannya. Nah bagaimana kita bisa menentukan nilai seperti ini? Bagaimana kita bisa menghitung 3 meter ke kanan tambah 4 meter ke atas? Lalu solusinya seperti ini. Nah kita akan lihat selanjutnya.

Nah teman-teman kita akan masuk kepada operasi hitung vektor. Yang pertama ada resultant, yang kedua ada perkalian dengan skalar, yang ketiga ada dot product, lalu yang keempat ada cross product. Jadi operasi hitung vektor itu sebenarnya melibatkan empat hal ini yang cukup penting yang seringkali muncul dalam aplikasi sains. Nah kita coba lihat satu persatu. Pertama-tama kita akan membahas resultant. Resultant atau jumlah, jumlah daripada vektor.

Ada beberapa kasus yang perlu teman-teman perhatikan. Misalkan kalau vektor itu segaris. Ambil contoh. Vektor A 2 satuan ke kanan. Vektor B 3 satuan ke kanan. Satu satuan ini terserah. Bisa saja 2 cm. Bisa saja 2 m.

Bisa saja 2 misalkan 2 kaki gitu ya atau 2 km Nah yang penting kalau ini satu-satuannya 1 cm ini juga satu-satuannya 1 cm Jadi ini 2 satuan ke kanan 3 satuan ke kanan Maka A ditambah B faktor A tambah faktor B itu adalah tinggal kita hubungkan 2 terus lanjut 3 ke kanan Maka totalnya A tambah B adalah 5 ke kanan

2 ke kanan tambah 3 ke kanan Hasilnya adalah 5 ke kanan Oke Nah sekarang kita coba ambil contoh lain Misalkan C adalah 5 ke kanan D itu 3 ke kiri Maka 5 ke kanan dilanjutkan dengan 3 ke kiri Itu adalah C tambah D Vektor C tambah vektor D

Nah ini adalah gambarnya, itu sebabnya sama saja dengan kita pindah 2 ke kanan ya kan? Nah ini resultannya, jadi resultan dari faktor C, C 5 satuan ke kanan ditambah dengan dia ke kiri 3 satuan D, maka sama saja dengan 2 ke kanan, jadi ini adalah C tambah D.

5 ke kanan, 3 ke kiri Maka 5 ditambah Ini karena 3 ke kiri Kalau kanan positif berarti ke kiri negatif 5 kurang 3 sama 2 2 ke kanan Dengan kanan lebih besar dari ke kiri Bagaimana dengan beberapa faktor yang sejajar? Jika searah tadi adalah di jumlah

Jika berlawanan, maka dikurangi. Ini tadi kalau searah, di jumlah saja angkanya. Kalau misalkan faktor ini saling berlawanan, arahnya satu ke kanan, satu ke kiri, maka ini dikurang. Ini khusus untuk beberapa faktor yang sejajar atau segaris. Oke?

Sekarang kita masuk yang kedua. Bagaimana kalau ada faktor yang saling tegak lurus? Yang sudutnya membentuk 90 derajat. Ambil contoh, A itu 3 ke kanan, B itu 4 satuan ke atas. Maka A tambah B-nya bagaimana? Berarti 3 ke kanan, 4 ke atas. Nah, ini sama aja yang sisi miring ini kan. Nah, panjangnya berapa? Nah, ini adalah A tambah B, faktor A tambah B. Nah, kalau dikasih dengan tanda, seperti tanda mutlak di sini, ini artinya panjangnya.

Panjangnya adalah, kalau kita lihat ini adalah segitiga siku-siku kan, maka ini panjang ke kanan di kuadrat tambah panjang ke atas di kuadrat terus di akar, itu adalah panjang sisi miring ini atau panjang vektor A tambah B. Jadi panjang A kuadrat tambah panjang B kuadrat di akar, jadi tanda mutlak ini, ini adalah panjangnya ya.

Tanpa kita melihat arahnya Tapi ini baru besarnya Ini baru nilainya Bagaimana dengan arahnya? Nanti kita akan lihat Nah, di sini arahnya adalah sudut Alpha Bagaimana mencari alpha? Tangin alpha adalah Sisi di depan bagi sisi sampingnya Tangin kan delta Y per delta X Yaitu Dalam hal ini adalah panjang vektor B dibagi panjang vektor A Maka alpha adalah

Inverse daripada tangan ini Atau arkus tangan

Panjang B, panjang vektor B per panjang vektor A. Nah, jadi panjang resultannya A tambah B sudah diketahui, lalu sudutnya diketahui. Berarti ada dua sekarang kan, yaitu panjangnya atau nilainya dan arahnya. Jadi ini adalah vektornya, ini adalah vektor yang miring. Kalau vektor yang miring, kita tentu saja harus ngomong panjangnya berapa, lalu sudutnya berapa, supaya kita bisa tahu

Vektornya itu apa Karena vektor itu ada dua Yaitu besar atau nilai dan arahnya Ini besarnya Ini arahnya Sekarang kita ambil dari contoh Misalkan vektor A 3 satuan ke kanan Lalu B 4 satuan ke kanan Bagaimana menghitung

panjang vektor resultant atau A tambah B panjangnya berapa gitu ya yaitu di kuadrat ya 3 kuadrat tambah 4 kuadrat di akar ya karena kita mau lihat panjangnya saja gitu ya berarti ini kan diabaikan kan ya jadi kita cuma menghitung panjangnya saja dapat 5 lalu bagaimana untuk aranya aranya pasti ke kanan atas tapi kanan atas sudutnya berapa nah pakai ini pakai sudut ya untuk menghitung sudut kita pakai arkus tangen alfa adalah arkus tangen dari

4/3 nah dari kalkulator kita dapatkan ini 53 derajat gitu ya atau kita ingat ya kan kalau misal memang tangi 53 derajat itu memang 4/3 karena ini angka yang khusus yang sekali muncul seperti sin 53 adalah 0,8 sin 37 derajat adalah 0,6 ya itu adalah angka-angka yang muncul di dalam perhitungan gitu ya oke nah maka

A + B adalah solusinya 5 satuan dengan sudut 53 derajat kanan atas arahnya 53 derajat terhadap sumbu X positif contoh lain supaya teman-teman bisa lebih paham sekarang ada vektor A 4 satuan ke kanan B 1 satuan ke atas C 4 satuan ke bawah bagaimana dengan A + B + C ini sekarang 3 vektor bukan lagi 2 vektor bagaimana?

Nah, pertama-tama kita lanjutkan dulu. Terserah nih, mau yang mana dulu. Nah, di sini misalkan teman-teman tulis dulu yang C. C berarti 4 satuan ke bawah. B berarti dilanjutkan 1 satuan ke atas.

Nah, di sini jadi B tambah C, yaitu apa? 3 satuan ke bawah. Saya ulangi ya. Pertama-tama, karena B tambah C tambah A, ini kan sifatnya komutatif. Boleh misalnya A tambah B tambah C sama saja dengan B tambah C tambah A, atau A tambah C tambah B itu sama saja. Nah, sekarang misalkan saya ambil C ditambah dengan B dulu. C, 4 ke bawah. B, 1 satu kata, sama saja dengan 3 ke bawah. Ini adalah B tambah C.

Yang belum apa? Kalau saya sudah menjumlahkan B tambah C, yang belum ada tambah A. Berarti setelah B tambah C, tinggal dilanjutkan A. Berarti 4 satuan ke kanan.

3 satuan ke bawah, ini B tambah C, tambah dengan A. A ke kanan itu adalah 4. Maka terakhirnya adalah dari sini ke sisi akhir. Ini adalah resultannya, yaitu B tambah C ditambah dengan A. Sisi miring ini B tambah C ditambah A. Atau A tambah B tambah C. Vektornya ya, vektor A tambah vektor B tambah vektor C.

Nah, untuk menghitung panjang resultannya bagaimana? Di sini kita lihat ini 3 ke bawah, berarti B tambah C kita hitung dulu panjangnya, yaitu berapa?

Yaitu tadi ya, kebawah min 4, ke atas 1, bagi turun 3, min 3 Maka sekarang panjang sisi miring ini, panjang resultannya A tambah B tambah vektor C Adalah kebawah sama yang ke kanan ini di pitagoras Yaitu 4 kuadrat tambah min 3 kuadrat Ini kan 4 ke kanan, 4 kuadrat, ini min 3 kebawah, min 3 dikuadratkan Di akar hasilnya adalah 5, jadi sisi miringnya adalah 5

Bagaimana kita mencari arah? Ingat arah itu patokannya adalah sumbu X positif Ini sumbu X positif Sekarang ini resultannya di bawah Maka arah itu adalah dari sini Muter sampai ke sisi resultan ini Jadi arah itu dari sini sampai sini Nah sekarang saya misalkan alfanya di sini Jadi alfa ini bukan arah dalam hal gambar ini Seringkali alfa itu adalah arah karena mudah Misalkan di kuadran 1 Tapi sekarang ternyata arah yang kita mau cari adalah ini

Jadi saya misalkan alfanya disini Untuk memudahkan Karena kita mau bikin segitiga siku-sikunya Tangin alfa adalah Ini segitiga siku-siku Tangin alfa adalah sisi di depan Dibagi dengan sisi samping Sisi di depan ini adalah 3 tadi Dibagi dengan sisi samping Sisi samping ini adalah 4 3 per 4 Dari kalkulator arkus tangin 3 per 4 Adalah 37 derajat

Maka karena alpha di sini adalah 37 derajat, berarti dari sini sampai ke sini apa? 360 dikurang dengan 37 derajat, yaitu 323 derajat. Jadi arah daripada resultannya adalah 323 derajat terhadap sumbu X positif. Jadi sekarang kita mau lihat, teman-teman. Kalau misalkan ada vektor A, dan vektor B, dan vektor C, banyak vektornya, maka bagaimana kita cari solusinya? Nah, urutannya seperti ini.

Pertama-tama, totalkan dulu vektor dalam arah sumbu X atau yang mendatar. Di sini sumbu X cuma ada yang A. Yaudah selesai, nggak ada apa-apa lagi kan. Lalu totalkan atau jumlakan yang vektor-vektor yang ada dalam sumbu vertikal atau sumbu Y. Dalam hal ini ada B, ada C. Nah, sekarang B sama C dijumlahin dulu. Setelah itu, baru cari resultan. Dengan cara apa? Dengan cara ini adalah sigma X kuadrat...

Tambah ini sigma pada sumbu Y dikuadratkan Lalu diakar Nah resultannya dengan cara apa tadi? Pitagoras Baru kemudian terakhir cari arah Cari arah adalah dengan total sumbu Y dibagi dengan total panjang pada sumbu X Sigma Y dibagi dengan sigma X Lalu kemudian cari alfanya Dari alfanya baru kemudian dari gambar sini kita lihat Oh arahnya ternyata yang ini Berarti 360 derajat dikurang alfa

Jadi ini adalah urutan tahapan-tahapan penyelesaian atau algoritma penyelesaian masalah untuk menghitung resultan suatu faktor yang lebih dari 2 akan sangat menguntungkan kalau kita menggunakan ini. Sekarang kita lanjutkan. Bagaimana kalau faktornya memiliki sudut?

Misalkan ada vektor A 3 satuan dengan 60 derajat terhadap sumbu X atau mendatar Lalu ada vektor B ini 4 mendatar ke kanan Nah tentukan vektor A tambah vektor B Nah vektor A tambah vektor B Nah teman-teman bisa dengan cara poligon ya Kalau kita gambar boleh dengan cara melanjutkan begini ya Misalkan vektor A digambar dulu tambah vektor B dilanjutkan lagi Berarti resultannya adalah dari sini tarik ke sini Itu adalah metode gambar dengan metode poligon gitu ya

Dilanjutkan saja, ini adalah vektor A tambah vektor B Nah arah apa? Ingat arah adalah resultannya terhadap sumbu X itu sudutnya berapa? Itu adalah arah Jadi arah adalah ini sumbu X, nah ini resultannya, nah ini sudutnya berapa? Itu adalah arah Karena sekali lagi kalau kita bicara vektor, itu harus ada besar dan arah Kalau dia ada sudut ya sudah, kita ngomong besarnya panjangnya berapa dan sudutnya berapa Itu adalah vektor Oke?

Nah, sekarang saya hitung dulu yang ini. Dan teman-teman perhatikan, kalau ada segitiga siku-siku seperti ini, lalu teta di sini, maka sin teta apa? Sin teta adalah y per r. Depan dibagi miring demi. Cos teta adalah x per r. Yaitu...

Disini adalah X per R Samping dibagi dengan miring Teman-teman bisa menonton video saya Mengenai trigonometry dan yang lain Untuk memperdalam konsep-konsep seperti ini Maka dari sin theta adalah Y per R Dan cos theta adalah X per R Maka X sama dengan R kali kan ke samping Menjadi R kali cos Y adalah R dikali sin theta Nah teman-teman dengan demikian Kita bisa pakai rumus ini Untuk melakukan proyeksi Jadi kalau saya tahu sisi miringnya Saya tahu sudutnya

maka saya bisa hitung sisi samping dan sisi tegaknya, yaitu X R kali cos, Y R kali sin. Ini adalah metode pengurangan komponen vektor. Jadi kalau ada vektor yang miring, kita uraikan dulu ke sumbu X, kita proyeksikan dulu ke sumbu Y.

Ambil contoh, ini tadi vektor A panjangnya kan 3, lalu di sini ada 60 derajat. Maka panjang vektor ini ke kanannya berapa? Proyeksi ke sumbu X-nya. Dan panjang vektor ke atasnya berapa? Ini proyeksi dia ke sumbu Y, ini panjangnya berapa? Ternyata yang bawah adalah sisi miring dikali cos. Ingat ya tadi ya, X adalah apa? R kali cos. Karena ini kena sudut, jadi ini adalah sisi yang membentuk sudut dengan sisi miring. Pasti ini adalah cos-nya.

Jadi sisi miring dikali cos 60, yang atasnya berarti sin nya, 3 kali sin 60. Cos 60 setengah berarti 3 kali setengah 3 per 2, sin 60 setengah ke 3 berarti 3 kali setengah ke 3, 3 per 2 ke 3. Nah teman-teman setelah ini diuraikan menjadi 3 per 2 ke 3 ke atas, lalu 3 per 2 ke kanan, maka yang miring ini sudah tidak ada. Karena dua faktor ini kalau diresultan itu sebenarnya adalah yang miring ini, saya ulangi.

Kalau dua vektor ini yang ke atas sama yang ke kanan di resultant, teman-teman akan mendapat 3 satuan dengan arah 60 derajat. Nah ini kebalik, justru vektor miringnya diketahui kita proyeksikan ke atas dan ke kanan. Karena kalau menghitungnya miring susah, tapi kalau menghitung yang segaris seperti yang tadi saya sudah bahas sebelumnya itu lebih mudah. Oke?

Jadi sekali lagi kalau ada faktor yang miring diproyeksikan dulu ya. Ada faktor yang bersudut diproyeksikan dengan cara seperti ini. Nah berarti apa? Berarti sekarang sudah kita tahu ke atas 3 per 2 ke 3. Ditambah dengan 3 per 2 ke kanan. Lalu ditambah dengan B. Ini baru A ya. 3 per 2 ke 3, 3 per 2 ke kanan ini baru faktor A.

Lalu ditambah dengan vektor B 4 satuan ke kanan Tambah lagi 4 satuan ke kanan Maka panjang totalnya Nah kita hitung ya Tahapannya seperti sebelumnya Sekarang adalah vektor-vektor yang sudah Segaris pada sumbu Y Dan vektor-vektor yang segaris pada sumbu X Lihat ini kan Ini yang warna hijau adalah 3 per 2 Segaris dengan yang warna biru Yang adalah vektor B Sedangkan yang sumbu Y juga sudah ada Berarti yang segaris Sigma X nya dijumlah dulu Sigma X adalah

3 per 2 tambah dengan di sini adalah ke kanan 4 satuan ya. Lalu yang ke atas, yang sumbu Y cuma ada 1 ya, cuma ada ini. Cuma ada 3 per 2 akar 3 ke atas. Berarti sigma Y hanya itu. Nah sekarang sudah menjadi segitiga siku-siku. Jadi kalau teman-teman sudah menghitung sigma X sama sigma Y, sudah pasti gambarnya bentuknya siku-siku. Maka mencari resultan dari vektor A tambah vektor B. Nah panjangnya berapa? Panjangnya adalah Pythagoras dari ini.

3 per 2 akar 3 kuadrat tambah Nah 3 per 2 tambah 4 3 per 2 itu 4 itu adalah 8 per 2 Jadi 8 tambah 3 11 11 per 2 di kuadrat Nah ini di kuadrat menjadi 9 per 4 dikali 3 9 per 4 kali 3 atau 27 per 4 Tambah ini 121 per 4 Nah ini dijumlakan menjadi 148 per 4 Atau akar 37 gitu ya

Nah, jadi panjangnya adalah akar 37. Nah, sekarang kita mau hitung arah. Nah, sekali lagi kalau arah adalah resultant ini terhadap sumbu X. Nah, sekarang kita tinggal bikin segitiga siku-sikunya. Nah, di sini sudah dibikin segitiga siku-sikunya. Ini adalah alfa. Berarti kalau kita sudah ketemu alfa, langsung dapat sudah arahnya. Tangin alfa adalah ini per ini. Atau ini kan sama dengan ini kan.

Sedangkan yang bawah sama dengan yang atas Ini apa tadi? Sigma Y Yang ini? Sigma X Ini Sigma X Oke 3 per 2 Ketiga bagi dengan 11 per 2 Maka arah adalah alfa Yaitu arcus tangan ini Oke ya Jadi ini adalah solusinya Oke Nah teman-teman

Sekali lagi, saya mau tekankan satu hal. Berarti makna geometrisnya atau makna gambarnya itu seperti apa? Kita lihat. Kalau misalkan ada 60 derajat, ada vektor A dengan panjang 3 satuan dengan 60 derajat ditambah dengan vektor B.

Maka di sini kita dapat vektor A tambah vektor B adalah ini Dengan panjangnya adalah mutlak Tanda mutlak dari A tambah B dengan arahnya adalah sudut ini Vektor A ini bisa kita uraikan menjadi ke atas dan ke kanan Jadi ini ke kanan atas bisa saya ganti dengan dua vektor yaitu ke atas dan ke kanan Maka vektor A ini sudah tidak ada lagi Tapi yang ada adalah vektor A dalam arah sumbu X proyeksinya Dan vektor A dalam arah sumbu Y proyeksinya

Setelah itu yang ke kanan sama ke kanan ini dijumlah Makin panjang Yang ke atas tidak ada yang lain ya Hanya ke atas saja berarti tinggal tahu di sini Maka ini kalau kita jumlakan resultankan Teman-teman perhatikan panjang sisi miring ini pasti sama dengan ini Lalu sudut ini ke sumbu X sama dengan sudut dari ini ke sumbu X Pasti sama ya Nah perhatikan di sini ini ada warna merah tadi ya

Yaitu proyeksi daripada yang miring ini ke sumbu Y Kemudian teman-teman perhatikan yang ini Saya taruh ke kanan sini Jadi ke atas Ini ke atas Ini ke kanan Nah maka sekali lagi ini segitiga Siku-siku yang adalah ini Nah perhatikan gambarnya

Sama kan ya? Nah segitiga siku-siku, segitiga siku-siku yang sama. Jadi sebenarnya waktu kita melakukan proses perhitungan tadi, proyeksi dulu, lalu hitung sigma X-nya ditotalin, lalu dihitung sigma Y yang ditotalkan, maka teman-teman sebenarnya sedang menghitung ini, membuat segitiga siku-siku ini. Nah karena itu sama, maka di situ kita bisa hitung resultannya.

Oke, jadi teman-teman dari video ini kita sudah belajar bagaimana menghitung vektor kalau dia sejajar atau dalam hal seara dan berlawanan arah. Lalu bagaimana kalau vektor itu saling tegak lurus, kita gunakan Pitagoras. Bagaimana kalau ada vektor yang miring? Nah, yang miring itu harus diproyeksi dulu menggunakan trigonometri. Lalu kemudian kita jumlahkan yang sumbu X-nya, sigma X-nya. Lalu kita jumlahkan yang...

Y nya atau sigma Y nya secara terpisah Setelah itu kita pasti akan dapat Segitiga siku-siku Dari segitiga siku-siku Kalau kita cari sisi miringnya Ini adalah resultannya Tadi kita sudah bahas ya Teman-teman bisa menonton ulang lagi video ini agar lebih paham Setelah kita dapat resultannya Disitu kita bisa hitung panjangnya Panjang resultan Tapi ingat, vektor tidak hanya panjang atau besar Tapi harus ada arah Untuk mencari arah teman-teman bisa menggunakan Arkus tangen

Oke, saya stop video saya sampai di sini. Silakan teman-teman menonton video saya selanjutnya agar memahami operasi vektor lebih baik lagi. Salam, semangat!