Hola, ingeniosos e ingeniosas. Durante
esta clase entenderemos muy bien el
péndulo simple, sus relaciones
matemáticas, la física de un péndulo
simple, la aplicación del movimiento
armónico simple que entendimos en la
clase anterior, en el video, por aquí te
dejo el enlace de movimiento armónico
simple. Esta es una aplicación del
movimiento armónico simple en el péndulo
simple.
Resolveremos al final de la clase este
problema donde hay una masa que oscila
eh, y vamos a encontrar su periodo y la
fuerza de tensión de la cuerda sobre
ella. He traído para esta clase una un
péndulo. Esto es un péndulo. ¿Qué es un
péndulo? Pues tengo una cuerda que
sujeta una masa en su extremo. Uno de
los extremos de la cuerda está fijo. Y
simplemente vamos a ubicar el péndulo.
Vamos a hacerlo. Vamos a ponerlo por
aquí de esta forma y él va a oscilar, es
decir, va a tener un movimiento de va y
ven, va, ven, va y viene. Lo voy a poner
por aquí para que observes. va y viene,
va y viene. Y ahí hay unas
transformaciones de energía, energía
potencial gravitacional porque tiene una
altura y a medida que va bajando,
bajando, bajando, bajando, va perdiendo
altura y va ganando velocidad. Se va
transformando la energía potencial
gravitacional en energía cinnética. Va
ganando velocidad y pasa por el punto
más bajo de su trayectoria con su
velocidad más alta, ¿vale? Y es la
gravedad la que actúa sobre el péndulo,
la que hace que un péndulo funcione.
Entonces, vamos a tener esta parte aquí.
Tan, tan, tan, tan tan. Entonces, vamos
a simular. Aquí tengo un simulador que
he dibujado del péndulo, de este mismo
péndulo. Pero acá para que podamos
entender, analizar, dibujar, graficar,
¿vale? Este es nuestro péndulo. Vamos a
tener en cuenta varias cosas. La
primera, el periodo. En la clase
anterior vimos que era periodo,
recordamos que era periodo. Vimos
periodo en un movimiento circular
uniforme. También tengo clases de
movimiento circular uniforme. Periodo,
¿qué es periodo? Tiempo de un ciclo,
tiempo de una oscilación, tiempo de un
ir y venir de este péndulo. ¿Cuánto
tiempo se demora en dar una oscilación
completa en ir y venir? Ese es el
periodo. Y la frecuencia, ¿recuerdas qué
es frecuencia? Okay, muy bien. El número
de oscilaciones por unidad de tiempo. En
el sistema internacional de medidas
vamos a tener el periodo en segundos y
la frecuencia en hertz. Recuerda que los
herz sobre segundo o segundo a la men1.
Vamos a tener una línea de referencia
vertical, que es el punto por donde el
péndulo pasa con su mayor velocidad.
Vamos a llamarlo punto de equilibrio,
¿vale? Entonces vamos a dibujar este
extremo del péndulo. Vamos a poner que
tiene longitud L, que va desde el
extremo de la cuerda hasta el centro de
la masa y vamos a pintar su trayectoria
de color verde. Vamos a pintar el otro
extremo y el ángulo con respecto a la
línea de referencia.
vertical, el ángulo teta que he pintado
ahí de color verde.
Te pregunto, piénsalo, ingénetelas,
ingenioso e ingeniosa, ¿qué fuerzas
actuarán sobre la masa en este extremo?
¿Qué fuerzas actúan aquí? Muy bien. El
peso, recuerda que el peso es la fuerza
que le hace la tierra a la masa y vamos
a llamarlo peso P. En algunos textos
encontrarás peso W por su nombre en
inglés. Hoy en esta clase voy a utilizar
peso como T. ¿Y qué otra fuerza actuará
sobre esta masa? Muy bien, la tensión de
la cuerda, esta fuerza, vamos a llamarla
fuerza F, fuerza de tensión de la cuerda
sobre esta masa en este extremo de ese
péndulo. A la masa la vamos a llamar M.
Y recuerda que esta masa está en un
campo gravitacional, en el campo
gravitacional terrestre. Los péndulos
funcionan por la gravedad y aquí estamos
en la Tierra y vamos a tener en cuenta
que G es la aceleración de la gravedad
porque la gravedad es una fuerza que
empuja ala los cuerpos hacia el centro
de la Tierra. Entonces, estamos en un
campo gravitacional que vamos a asumir
como G. Ahora ubiquemos un sistema de
coordenadas cartesianas, un plano
cartesiano
con ejes de esta forma, así como te los
he pintado aquí, xangente
a la trayectoria de nuestro péndulo y y
en la dirección radial de esta
circunferencia
X Y perpendicular Y a X Y o I
perpendiculares
Y aquí sería como el radio de esta
circunferencia de aquí hasta acá la
longitud L, ¿vale? Tengo este sistema de
coordenadas cartesianas. Ten en cuenta
que este ángulo teta es este mismo
ángulo porque tengo dos rectas
paralelas, esta línea de referencia y el
peso son paralelas y una transversal.
Estos dos ángulos son correspondientes,
por lo tanto, son congruentes y yo puedo
afirmar que este ángulo teta es este
mismo ángulo teta. ¿Qué pasa cuando
tenemos un vector, en este caso el
vector fuerza peso, fuera de los ejes de
coordenadas cartesianas en un plano
cartesiano, por lo general lo
descomponemos en sus dos componentes
rectangulares, una PX y una PY. tengo px
y p
y aquí se me va a formar este triángulo
rectángulo. Y a partir de ese triángulo
rectángulo, pongámoslo por acá, tengo,
si este triángulo es rectángulo, aquí se
me forma este es un ángulo recto, este
es un ángulo recto porque esta es
paralela a esta y estas dos son
perpendiculares.
Entonces tengo un triángulo donde P,
¿qué es? Hipotena, ¿y PX? ¿Qué cateto es
de el ángulo teta? Cateto opuesto o
adyacente? Es el cateto opuesto a teta y
Py es el cateto adyacente a teta.
Entonces, ¿recuerdas las razones
trigonométricas? ¿Cuál sería el seno del
ángulo teta en este triángulo? Recuerda,
seno es cateto opuesto sobre hipotenusa.
¿Cuál es el cateto opuesto aquí? PX. Y
la hipotenusa es P. Por lo tanto, me
queda px sobre p. P que está dividiendo
pasa a multiplicar si quiero despejar px
y esto me da la componente x, esta
componente tangente a la trayectoria,
que en realidad va a ser la fuerza de
restitución
de este péndulo, la que va a hacer que
esta masa venga para acá,
porque Py es al lado para acá, pero es
contrarrestado por la fuerza F. está en
equilibrio en el eje Y, primera ley de
Newton, pero la segunda ley de Newton se
aplica tangente a la trayectoria porque
solamente hay una fuerza que actúa en la
dirección X. ¿Vale?
Entonces, ya tengo px. Ah, px es el peso
P por el seno del ángulo. Por lo tanto,
vamos a poner esta relación por acá.
Dejémoslo aquí.
Y vámonos a Py. Para P, observa que Py
es el cateto adyacente. Recordamos
coseno y el coseno del ángulo teta es el
cateto adyacente sobre la hipotenusa. Py
sobre P. P que está dividiendo pasa a
multiplicar. Entonces, Py es P por el
coseno de teta. Lo ponemos por acá.
Ya tengo cómo calcular las dos
componentes PX y PY. Ahora vamos a
encontrar la relación para
la tensión de la cuerda. Esta fuerza F.
Recuerda que ahora te dije que en esta
dirección esta masa no se mueve ni para
allá ni para acá, por lo tanto está en
equilibrio en el eje Y aplicamos la
primera ley de Newton. Y la primera ley
de Newton te dice que la suma de fuerzas
que actúan sobre esta masa en este eje
es cero. Suma de fuerzas sobre esta masa
en el eje Y son cer0. Primera ley de
Newton. Y en el eje Y tengo f positiva
al lado positivo del eje Y menos P
porque Py está en la dirección negativa
del eje Y esto igual a 0 por primera ley
de Newton. Py que está restando por
transposición de términos pasa a sumar.
Por lo tanto, esta fuerza debe ser de la
misma magnitud de Py, pero en sentidos
contrarios. Y como Py es p coseno teta,
¿y recuerdas a qué es igual el peso?
Peso es igual a la masa por la
aceleración de la gravedad. Peso es mg.
Entonces, peso es mg. Y ya tengo la
forma de calcular la tensión de esta
cuerda teniendo la masa y el ángulo
teta. Tenémoslo por aquí. Y ahora vamos.
a hacer una observación especial para
que este péndulo tenga un movimiento
armónico simple. Vamos a trabajar con
ángulos muy pequeños, con este ángulo
muy muy pequeño entre 0 y 15º.
¿Por qué? Porque vamos a utilizar una
relación matemática para lograr
demostrar que en ángulos muy pequeños el
movimiento de este péndulo o el
movimiento pendular se comporta como un
movimiento armónico simple explicado en
la clase anterior.
Para ángulos muy pequeños, el seno de
ese ángulo en radianes medido en
radianes debe ser igual al mismo ángulo
o aproximadamente igual. Estas dos
culebritas, así es aproximadamente
igual. Para ángulos muy pequeños entre 0
y 15, el seno del ángulo en radianes es
igual al mismo ángulo en radianes.
Veamos, veamos, veamos. ¿Cómo así? ¿Cómo
así? ¿Cómo así?
en radianes. Entonces, seno de pix de
radiano. Pi sextos de radiano, ¿cuántos
grados son? Recuerda que pi radianes son
180º. 180/ 6 da 30. Estos son 30º.
Entonces, el seno de pix de radian es
aproximadamente 0.5, pero pix de radián
es 0.52
radianes.
Entonces, para 0, el seno de 0.52 52 es
aproximadamente 0.5.
Vamos a acercarnos un poco más a que el
seno de ese ángulo sea igual al mismo
ángulo. Por lo tanto, trabajemos con uno
más pequeño.
0.26
radianes. El seno de 0.26 radianes es
aproximadamente igual a 0.26 radianes.
Lo mismo el seno del ángulo de 0.1
radianes o 0.10 radianes es 0.1 un
radianes. Por lo tanto, para ángulos
pequeños de aproximadamente
menores a 15º, es decir, entre 0.26
radianes o 0.10 radianes, menores de
0.26 radianes, el seno del ángulo es
aproximadamente el ángulo. Pero esto,
¿por qué te lo dije decía ahora? Porque
vamos a asumir
que este movimiento pendular es un
movimiento armónico simple. ¿Cómo te lo
demuestro? Vamos a tomar esta relación,
este px, que es la fuerza de
restitución,
la fuerza que hace que esta masa se
devuelva en la dirección tangencial
x, en la dirección de su trayectoria.
Analicemos.
El peso es igual a la masa por la
aceleración de la gravedad. Dijimos
ahora que por esta relación para ángulos
pequeños, el seno del ángulo es el mismo
ángulo. Entonces esta fuerza de
restitución es la masa que permanece
constante por la aceleración de la
gravedad que es constante por el ángulo
que es variable pero es un ángulo
pequeño. Entonces tenemos la fuerza de
restitución en función del ángulo. Pero
el ángulo, vamos a hacer un análisis del
ángulo. Pongamos esto por acáur
y dibujemos una circunferencia con
centro aquí. Y en esa circunferencia
tengo su radio. Vamos a recordar
elementos geométricos donde tengo un
radio, tengo otro radio y se me forma
esta porción de circunferencia.
Y esta porción de circunferencia tiene
un ángulo teta. Y este es el arco que
vamos a llamar arco S. ¿Recuerdas qué
relación matemática geométrica te
articula el arco S, el ángulo teta y el
radio R? Muy bien. Que el ángulo es el
arco dividido el radio. Que el ángulo es
el arco dividido el radio. Cuando tengo
una circunferencia de radio uno, el arco
mide lo mismo que el ángulo. Tú puedes
expresar la medida del arco. ¿Cómo? el
ángulo en radianes. Apliquemos esto acá.
Aquí tengo una porción de circunferencia
y ubiquémosla por acá. Vamos a llamar a
este arco, esta trayectoria de mi masa
de este péndulo de aquí hasta acá como
trayectoria X. Ángulo teta, radio L. Y
mira que esto se nos parece. Por lo
tanto, el ángulo teta es el arco
dividido el radio X sobre L. Dejemos
esto por acá.
Ya tenemos que aquí
este ángulo es este arco dividido esta
L. Bueno, profe, pero ¿por qué tanta
cosa? Porque es que te voy a demostrar
que este movimiento pendular es un
movimiento armónico simple para ángulos
menores de 15º. Tomemos esta relación.
Pongámosla por acá y
vamos a sustituir, reemplazar que este
ángulo teta
es X sobre L. Pongámoslo acá, x sobre L.
Y organicemos aquí vamos a hacer una
organización conveniente.
¿Qué es variable y qué es constante?
Masa constante, ¿sí? La masa no varía en
el péndulo. La aceleración de la
gravedad constante, ¿sí? No nos hemos
llevado en su trayectoria esto para la
Luna o para Marte y la longitud del
péndulo va a permanecer constante y es
variable su trayectoria X. Entonces
tenemos la fuerza como función de X.
Organicémoslo. Pongamos esto por acá. Y
aquí observa que mg sobre L, esta es una
constante
y es una constante
que vamos a poner negativa. ¿Por qué
negativa? Porque la dirección de esta
fuerza px, una fuerza de restitución es
negativa. La el sentido de pxo
este eje es negativo, apunta hacia la
izquierda. Por lo tanto, podemos afirmar
que esta constante es negativa y tengo
una fuerza igual a - k * x. Esto, ¿a qué
te recuerda? Muy bien. La ley de hook.
Esta ley de hook donde la fuerza de
restitución es directamente proporcional
a la deformación del resorte. Y esto
hace que este movimiento sea un
movimiento armónico simple, porque esta
es la característica fundamental de un
movimiento armónico simple. Recuerda que
lo expliqué detalladamente en el video
de movimiento armónico simple de la
clase anterior. Dejemos esta relación
por acá
y ahora vamos a determinar la relación
matemática que me permite calcular el
periodo en un péndulo en función de su
longitud. Periodo tiempo que se demora
esta masa en ir y volver en función de
su longitud. ¿Recuerdas el periodo en un
resorte? Lo expliqué en la clase
anterior. El periodo en un resorte está
por acá, traigámoslo. Tu tum. Es 2 pi m
sobre k. Hice todo un desarrollo a
partir del movimiento circular uniforme.
Mira que todo esto está enlazado.
Movimiento circular uniforme es base
para el movimiento armónico simple y el
movimiento armónico simple es base para
el movimiento pendular.
Entonces,
a partir del periodo de un resorte de
constante K al que le oscila una masa N,
vamos a determinar el periodo en un
péndulo. Y la constante K, esta
constante es la masa por la aceleración
de la gravedad dividido entre L. Vamos a
sustituirla aquí. ¿Qué hacemos aquí?
Reganizamos esta masa. Le ponemos unito
abajo para poder establecer fracción de
fracciones y aplicar la ley de extremos
y medios. Por lo tanto, vamos a
transformar esto en m * ll
sobre 1 * mg m * g. Mira que esto se te
parece una orejita, entonces muchos la
llaman la ley de la oreja.
Si aplicamos esta ley de la oreja,
pongamos esto por acá. Continuemos. ¿Qué
podemos hacer ahí algebraicamente? Muy
bien. Cancelar M con m. Chin, chin. Y
entonces me va a quedar que el periodo,
atención, el periodo para ángulos
menores a 15 gr en un movimiento
armónico simple se puede calcular como 2
pi raíz de la longitud dividido la
aceleración de la gravedad. El péndulo
funciona aquí en la tierra depende de la
longitud de la cuerda. Mira que aquí se
demora en ir y venir. Va y viene, va y
viene. Pero si voy acortando la cuerda,
mira que a menor longitud,
el periodo,
el periodo a menor longitud, ¿qué pasa?
A menor longitud, el tiempo es menor.
Observa de nuevo, de nuevo,
eh, va y viene, va y viene. Disminuyamos
la longitud. Tu, tu, tu, tú. Mira que el
tiempo en ir y volver es menor. A menor
longitud, menor periodo. Vale, listo. Y
entre más larga sea la cuerda, pues va
aumentando el periodo. Aumentemos la
cuerda, la longitud y mira. Uh, va bien.
Entonces, un péndulo de cuerda larga. La
masa se demora en ir y venir. Listo.
Periodo en un péndulo. Depende de la
longitud y de la aceleración de la
gravedad. Pregunto, ¿este péndulo
funcionará en la luna? ¿Funciona en la
luna? ¿Sí o no?
Claro que sí. ¿Por qué? Porque la luna
tiene gravedad. Claro. Uno en la luna
camina, no navega. Bueno, tampoco puede
navegar porque no hay aire. La luna lo
que no tiene es atmósfera,
pero si tiene gravedad, claro que sí. Si
yo suelto esta pelota en la luna, ¿cae?
Claro que cae. Pero la gravedad lunar es
la sexta parte de la gravedad en la
Tierra. Eso ya ha sido explicado en
otras clases. Entonces, este péndulo
funciona en la luna. Sí. Con el mismo
periodo, ¿no? Con la misma longitud, el
periodo va a cambiar. Si mantenemos la
longitud constante en la Luna, la
relación del periodo es inversamente
proporcional a la raíz cuadrada de la
aceleración de la gravedad. Se ve
afectada por hecho. ¿Vale? Muy bien.
Entonces, dejemos por acá
este resumen de relaciones que he
determinado en un péndulo donde superior
es dos pilas raíz cuadrada de la
longitud de la cuerda sobre la
aceleración de la gravedad. Y la fuerza
de tensión en el péndulo es la masa por
la aceleración de la gravedad por el
coseno del ángulo. Está en función del
ángulo. Apliquémoslo en un problema.
¿Qué dice nuestro problema? Una masa de
2 kg oila suspendida de una cuerda de 30
cm de longitud, masa de 2 kg, cuerda de
30 cm de longitud que forma un ángulo de
10º con la vertical.
Calcula el periodo de oscilación. Tiempo
en ir y volver, ir y volver, ir y
volver. y la tensión de la cuerda en el
extremo. Vamos a aplicar estas dos
relaciones. Por lo tanto, con el periodo
que es 2 pi√ L, pero L es 30 cm. Vamos a
trabajar en el sistema internacional de
unidades.
¿Por qué? Porque tenemos G y G está en
el sistema internacional. 9,8.
En el sistema internacional. ¿Recuerdas
la equivalencia de centímetros a metros?
30 cm es corremos este punto. Vamos a
usar el punto aquí en este problema como
indicador decimal. Lo corremos dos
lugares uno y 2. Me va a quedar de 0.3
m. La longitud 0.3 m. Y la aceleración
de la gravedad vamos a asumirla
aproximada de 9.8 m sobre segundo
cuadrado. Efectuamos esto en
calculadora. Toma tu calculadora,
resuelve 2 * pi*ad
0.3/ 9.8 y te va a dar de
aproximadamente redondeado a un decimal
en 1.1 segundos. Esta masa se demora 1.1
segundos en ir y volver. Ahora dejemos
esto por acá y vamos a calcular la
tensión, esta fuerza y simplemente
sustituimos la masa de 2 kg, la
aceleración de la gravedad por 9.8 y el
ángulo por 10º. 2 kg, 9.8 m/ segund²
coseno de 10º.
Efectuamos en calculadora, hazlo tú. 2 *
9.8. Mira que está todo en el sistema
internacional de unidades, no hay ningún
problema. Por el coseno de 10º no lo
tenemos en radianes, pero el coseno de
10º debes tener en cuenta que tu
calculadora para este cálculo debe estar
en modo degreas, grados, coseno de 10º.
¿Vale? Entonces me da 19.3 redondeado a
un decimal Newton. ¿Por qué Newtons?
Porque kilogr sobre segundo al cuadrado
es Newton, que es la unidad de fuerza en
el sistema internacional de unidades. Y
terminamos nuestro problema. Ya está. El
periodo de oscilación se demora 1.1
segundos en ir y volver. Y esta fuerza
de tensión para esta masa de 2 kg es de
19.3 N.
Soy el profesor Sergio Llanos, ingeniero
mecánico de la Universidad del Valle en
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