01. Cálculo vectorial - Introducción al curso: ¿Qué es un vector? CON GRÁFICA

Hola y bienvenidos a otro video de Mate

fácil en este video vamos a empezar un

nuevo curso un curso llamado cálculo

vectorial que también algunas veces se

llama cálculo en varias variables o

cálculo multivariable es exactamente lo

mismo la idea esencial es que se van a

desarrollar los conceptos que usualmente

se utilizan en cálculo como las

derivadas las integrales la continuidad

las los límites y todas esas cosas pero

ahora utilizando más de una variable

vamos a empezar hablando acerca de los

requisitos que son necesarios para

entender un curso de cálculo vectorial

como requisitos Pues bueno el principal

es cálculo de una variable tanto cálculo

diferencial como cálculo integral más

específicamente ya entender el concepto

de lo que es una función una función de

variable real cosas como dominio Rango y

gráfica esto principalmente porque

también hablaremos de funciones pero de

varias variables y muchas de las ideas

que ya se han utilizado en cálculo de

una variable simplemente se generalizan

Entonces es es este Bueno ya

haber dominado el tema de

funciones para entender este tipo de

ideas bueno otro requisito es conocer

las funciones elementales y las

propiedades básicas de estas funciones

como son las funciones algebraicas las

funciones racionales las funciones

exponenciales trigonométricas

logarítmicas trigonométricas inversas y

bueno y todas esas no Porque también se

van a estar utilizando en en este curso

en algún momento también saber derivar

desde luego eso es muy importante y

saber integrar bueno eso esencialmente

también habrá por ahí alguna otra cosa

que es necesario dominar de cálculo de

una variable pero cuando sea necesario

hacer mención a algo en especial voy a

tratar de de ponerles en la descripción

del video en cuestión algún enlace a a

un video en el que puedan repasar un

tema en específico que que sea necesario

que dominen De cualquier manera es

importante que ya hayan llevado un curso

de cálculo de una variable para entender

el curso de cálculo vectorial vamos a

empezar Entonces el curso para esto

vamos a empezar con el siguiente tema

vamos a hablar acerca de lo que es un

sistema de coordenadas rectangulares

para esto Vamos a repasar un sistema que

ya es muy conocido por todos ustedes que

es este de aquí que es conocido como

plano cartesiano y al cual también se le

llama sistema de coordenadas

rectangulares

eh En este sistema de coordenadas

nosotros tenemos dos rectas una

horizontal y una vertical a la

horizontal le llamamos eje x y a la

vertical le llamamos eje y donde las dos

rectas se cruzan tenemos el cero que se

llama origen hacia la derecha tenemos

los positivos hacia la izquierda los

negativos hacia arriba los números

positivos y hacia abajo los números

negativos introducir estas dos rectas

con estos números nos permite

eh nos permite localizar puntos en el

plano asignándoles dos números que vamos

a llamarles coordenadas por ejemplo este

punto de aquí a este punto le vamos a

asignar dos coordenadas de la siguiente

manera trazamos una recta vertical y una

horizontal y vemos la intersección con

Los ejes X y Y en este caso con el eje x

vemos que intersectan el número 3 y con

el eje y en el número 2 por lo tanto le

vamos a asignar los dos números el 3 y

el 2 y tienen que asignarse en ese orden

primero la coordenada x después la

coordenada Y entonces este punto va a

ser el punto

3,2 este otro punto por ejemplo

trazarías las rectas de esta manera

hacia los ejes coordenados entonces

vemos que la coordenada x es 1 y la

coordenada y es -2 todo esto lo vuelvo a

a explicar aquí porque más adelante

vamos a generalizar este sistema de

coordenadas este sistema está en

contenido en el plano pero también

conviene tener un sistema en el cual

podamos localizar puntos no solamente en

un plano sino en el espacio en general

mediante el uso de tres coordenadas Así

que estaremos utilizando este tipo de

ideas por eso es importante repasar de

nuevo

Esto bueno asociado a un punto en el

plano cartesiano vamos a tener otro

concepto que es el de un

vector un vector va a ser un objeto

matemático que cumple con tres

características tiene magnitud tiene

dirección y tiene sentido bueno en este

caso Así es como lo vamos a definir en

realidad un vector se puede definir de

una manera mucho más general cumpliendo

una cierta lista de propiedades pero en

para este curso de cálculo no es

necesario tanto definir un vector en

forma general Así que vamos a quedarnos

con esta definición que es más bien como

una definición motivada en la física

seguramente eh los que ya han llevado

algún curso de física han utilizado

alguna vez los vectores para representar

fuerzas y velocidades y pueden ver que

siempre este tipo de cantidades eh

tienen una dirección y un sentido además

de su magnitud Así que motivados con esa

definición vamos a utilizar la idea de

vector en un plano y a un vector lo

vamos a representar mediante el uso de

una flecha como esta de aquí esta flecha

es un vector Entonces en este vector la

magnitud es la longitud de este segmento

O sea la longitud de la flecha Cuánto

mide esa medida ya la obtendremos más

adelante Pero bueno de hecho se puede

obtener aquí con el teorema de Pitágoras

si dibujá aquí un triángulo rectángulo

resulta que esta es la hipotenusa de ese

triángulo rectángulo y podemos calcular

su magnitud así de sencillo también

tiene una dirección La dirección es la

recta sobre la que se encuentra

contenida sobre la que se encuentra

contenido el vector O sea no es lo mismo

un vector inclinado de esta manera que

por ejemplo un vector que se encuentre

verticalmente o que se encuentre

horizontalmente entonces la dirección lo

vamos a a entender como el ángulo de

inclinación del vector y el sentido con

el sentido nos referimos a Hacia dónde

apunta la flecha porque no es lo mismo

que la flecha apunte en esta dirección

que apunte hacia la dirección opuesta a

pesar de que se encuentre sobre la misma

recta entonces con esas tres

características es con las que definimos

un vector cada punto del plano

cartesiano se encuentra asociado con un

vector este punto de aquí se encuentra

asociado con el vector que empieza en el

origen y termina en este punto y a ese

vector lo vamos a llamar el vector con

coordenadas 3,2 igual que que a este

punto con este otro punto tendríamos

asociado otro vector que sería este de

aquí al cual le llamaríamos el vector

1-2 entonces Entonces cuando hablemos de

puntos y cuando hablemos de vectores nos

estaremos refiriendo de la misma manera

a ambos objetos o sea con la misma

notación tanto el punto es el 3,2 como

el vector también es el

3,2 sin embargo si son objetos

matemáticos distintos pero muchas veces

realmente

eh No es muy importante distinguir entre

uno y otro Aunque hay veces que sí lo

importante la diferencia entre un punto

y un vector es como ya les mencioné que

el vector cumple con estas tres

características

y bueno entonces a un vector lo vamos a

nombrar siempre

con una letra y poniéndole arriba una

flechita siempre que vean este tipo de

notación se refiere a un vector en este

caso nos estamos refiriendo al vector u

porque tiene aquí una flechita arriba y

cuando nos refiramos a un punto

Solamente pues Generalmente no se le

pone la flechita sino nada más el puro

nombre del punto ahora eh nos podemos

referir por ejemplo a este este vector

como el vector u y diríamos que el

vector u es igual al vector con

coordenadas

3,2 en el caso de los vectores en lugar

de llamarle coordenadas se les llama

componentes en este caso diríamos que el

vector u tiene como componentes a 3 y a2

el 3 se llama componente x y el 2 se

llama componente y de la misma manera

podemos ponerle a este vector otro

nombre por ejemplo referirnos a él como

el vector V y el vector V entonces tiene

como componentes 1 y -2 la componente x

del vector V es el 1 y la componente y

es el el número

-2 bueno los vectores No necesariamente

deben empezar siempre en el origen como

estos dos estos dos vectores tienen el

punto inicial en el origen y el punto

final aquí en el en los puntos que había

dibujado anteriormente pero los vectores

son objetos libres en el sentido de que

pueden eh empezar en cualquier punto del

plano cartesiano y terminar en cualquier

punto por ejemplo vamos a centrarnos por

ahora en el vector u que tiene

coordenadas

3,2 bueno el vector u es este vector de

aquí pero este vector lo podemos

nosotros agarrar de aquí y desplazarlo a

cualquier lugar del plano siempre y

cuando lo mantengamos con su misma

magnitud su misma dirección y su mismo

sentido Por ejemplo este vector lo

podemos trasladar a cualquier parte del

plano por ejemplo aquí este vector si se

fijan tiene la misma magnitud que este

de aquí tiene la misma dirección porque

tiene el mismo ángulo de inclinación y

el mismo sentido que este de aquí Así

que en realidad este vector también es

el vector u es el mismo vector Aunque lo

hayamos desplazado para acá lo mismo

podríamos desplazarlo aquí podríamos

desplazarlo aquí aquí o aquí y sigue

siendo el mismo vector entonces un

vector es libre de moverse a cualquier

parte del plano y y podemos seguirnos

refiriendo a él como el vector con

componentes

3,2 bueno con los vectores se pueden

realizar algunas operaciones eso es algo

muy importante que estaremos utilizando

bastante las operaciones que se pueden

realizar con los vectores son

esencialmente dos las dos más

importantes más adelante veremos alguna

otra pero las dos más importantes y

esenciales de un vector son la suma de

vectores la cual se define de la

siguiente manera si tenemos dos vectores

el vector u con componentes a y b y el

vector B con componentes c y d vamos a

definir la suma de estos dos vectores

como la suma de las componentes o sea

para calcular la suma del vector u con

el vector B simplemente sumamos las

componentes x que son a + c y las

componentes y que serían b + d y de esa

manera es Cómo se define la suma Por

ejemplo si tenemos el vector u con

componentes 2,5 y el vector V con

componentes 1,3 la suma de u con B va a

ser el vector con componentes 3,8 porque

2 + 1 nos da 3 y 5 + 3 nos da 8 Así es

como se define la suma y la otra

operación que es muy utilizada bueno

importante esencial en los vectores es

la multiplicación por un escalar un

escalar significa un número real porque

noten que en este caso un vector no es

un número real es un par de números

reales siempre tiene dos dos números

separados por una coma más adelante

veremos vectores en tres dimensiones en

los cuales hay tres números reales pero

en este caso un vector tiene dos números

reales los que hemos visto hasta ahora y

un escalar se refiere a un solo número

real a los números usuales que usamos

siempre como el número dos como el

número cco etcétera entonces la

multiplicación por un escalar se define

de esta

manera el escalar K que representa un

número real multiplicado por el vector u

que es este de aquí

se va a definir como multiplicar cada

componente por el número real o sea K

por a y K por B Por ejemplo si el vector

u es el igual el 2,5 entonces

multiplicar ese vector u por 2 nos da

como resultado el vector con componentes

4,10 porque multiplicamos el 2 por este

2s y nos da 4 y este 2 por el 5 nos da

10 o sea cada componente la

multiplicaría de esta operación también

por ejemplo podríamos calcular -5 por el

vector B donde el vector B es el que

tiene componentes 1,3 entonces

simplemente multiplicamos -5 * 1 nos da

-5 y -5 * 3 nos da -15 este número de

aquí por el que multiplicamos un vector

repito puede ser cualquier número real

también podemos multiplicar por -1 o por

raíz cuadrada de 2 o por 0 o por pi o

por cualquier número vamos a dejar hasta

aquí este video en el siguiente video

continuamos con el curso vamos a hablar

acerca de la interpretación geométrica

de la suma y el producto por un escalar

es decir vamos a ver geométricamente

cómo podemos calcular la suma o el

producto de bueno la suma de dos

vectores o el producto de un vector por

un escalar Así que los invito a que vean

ese video Y si les gustó este video

apóyenme regalándome un like suscríbanse

a mi canal y compartan mis videos y

Recuerden que si tienen cualquier

pregunta o sugerencia pueden dejarla en

los comentarios