Hola ingeniosas e ingeniosos movimiento
armónico simple en esta clase trataré de
explicarte lo que más pueda sobre el
movimiento armónico simple sus usos
todas sus aplicaciones Mientras pueda
este video Fue solicitado por Sara
Valentina Sara Valentina es la hija de
mi amigo Alex del Canal matemáticas
profe Alex Los invito a que lo visiten
tiene un excelente canal colombiano
también como yo y al final de la clase
solucionaremos este problema en el
movimiento del pistón de un automóvil
donde encontraremos la aceleración que
tiene el pistón en el extremo de su
carrera encontraremos qué fuerza debe
ejercerse en ese punto y la rapidez y la
energía cinética que tiene en el punto
medio de su carrera iniciemos
has observado las cuerdas de una
guitarra te has preguntado cómo funciona
una guitarra Cuál es el movimiento
vibratorio de las cuerdas de una
guitarra que cuando uno pulsa esa cuerda
qué es lo que sucede Cuál es el vaivén
va y ven va y ven un movimiento armónico
simple o en un bafle reproductor de
sonido que estas vibraciones en
movimiento armónico simple forman ondas
o un diapasón Cómo produce sonido un
diapasón observa las ondas que se
producen por esa vibración por ese
movimiento armónico simple o
el pistón de un automóvil al interior
del motor dentro de un cilindro que es
un movimiento que se puede asumir como
movimiento armónico simple
Aquí tengo una simulación de ese pistón
en un vaivén
va y ven motor de combustión interna de
cuatro tiempos veamos que también se
puede aplicar
en máquinas troqueladoras como esta
movimiento armónico simple que tengo
aquí un resorte un muelle
que va y viene tengo una esfera atada a
su extremo vamos a asumir para efectos
prácticos para entender este movimiento
que aquí no hay fricción entre la Esfera
y la superficie tengo una constante k de
elasticidad del resorte una constante
que es propiedad de cada uno de los
materiales elásticos Recuerda que algo
es elástico si al deformarlo él quiere
volver a su forma original el genera una
fuerza de restitución
aquí tengo un punto de equilibrio
que se ASUME cuando el resorte no ha
sido ni comprimido ni estirado y los
extremos
Cuando se comprime máximo Y cuánto se
estira máximo este punto vamos a
llamarlo punto x igual a cero recuerdas
que es el periodo que se representa con
la letra T mayúscula periodo tiempo de
un ciclo tiempo de una vuelta tiempo de
una oscilación completa porque en este
sistema
una oscilación completa se da cuando él
va y viene es decir iniciemos acá
Ay viene el tiempo en ir y venir es el
periodo para una oscilación completa eso
es una oscilación completa podemos
determinarlo desde aquí cuando hay true
y vuelve ahí Ese es el periodo que es el
tiempo de una oscilación completa y su
unidad en el sistema internacional de
medidas son los segundos ahora la
frecuencia la frecuencia es el número de
oscilaciones por unidad de tiempo
su unidad en el sistema internacional de
medidas son los hertz que también se
conoce como uno sobre segundo o segundo
a la menos uno es el inverso del período
por unidad de tiempo
en el sistema internacional es Cuántas
veces va y viene por segundo pero
también lo podemos trabajar por minuto
las rpm revoluciones por minuto vale o
por horas en fin depende de la unidad
que tú elijas en el sistema
internacional son los hertz relativos al
segundo y recuerda que el período y la
frecuencia son inversos si tú tienes el
período puedes determinar la frecuencia
dividiendo 1 entre el período o
viceversa el periodo es el inverso de la
frecuencia
a la distancia en cualquier instante de
el movimiento oscilatorio de la masa con
respecto al punto de equilibrio se le
llama elongación si ella está aquí
entonces la distancia de aquí acá es la
elongación que puede ser negativa Si
está al lado izquierdo del que hemos
llamado como punto de referencia x igual
a cero la amplitud es la máxima
elongación es cuando llega al punto más
lejano de su punto de equilibrio y la
amplitud puede ser positiva que podemos
llamar a en este lado aquí o negativa
que es menos a en este otro lado en la
parte de atrás o izquierda izquierda
izquierda
de él de el punto que hemos llamado
punto de equilibrio velocidades observa
en un movimiento armónico simple un
movimiento oscilatorio como este la
velocidad es Cero en los extremos
0 acá porque llega ahí y se devuelve
llega se devuelve llega y se devuelve y
él va ganando velocidad porque hay una
fuerza de restitución Y si hay una masa
y hay una fuerza por lo tanto hay una
aceleración pasa por aquí con su
velocidad máxima en el punto de
equilibrio la velocidad de la masa
oscilante es máxima y luego va
disminuyendo disminuyendo disminuyendo
hasta que es cero aumento aumenta máxima
disminuye disminuye 0 aumenta máxima es
Sí sí cero máxima 0 máxima 0 Ok y la
aceleración es lo contrario de la
velocidad
es Cero en el punto de equilibrio Por
qué Porque aquí el resorte no está
deformado no está haciendo fuerza la
fuerza en este punto es cero y tengo
aquí aceleración máxima porque tengo
fuerza máxima de restitución y aquí
fuerza máxima de restitución por lo
tanto las aceleraciones son máximas en
los extremos y cero en el punto de
equilibrio y obedece por supuesto a la
ley de hooke te acuerdas de la ley de
hooke que la fuerza de restitución del
resorte es directamente proporcional a
la deformación
y Observa que si la elongación es
positiva la fuerza es negativa por lo
tanto este signo y este la constante de
proporcionalidad de la ley de Cook y es
la constante K del resorte la constante
de restitución y se cumple la ley de
hooke cuando la elongación es negativa
la fuerza es positiva mira que son
vectores con
sentidos contrarios por lo tanto está
este menos es el sentido la fuerza tiene
sentido contrario
a la elongación al vector elongación
atención a esto importantísimo si en un
movimiento periódico periódico
movimiento periódico vibratorio como
estos oscilatorio
la fuerza de restitución F es
directamente proporcional a su
desplazamiento x es decir si se cumple
la ley de hooke entonces este movimiento
es armónico simple
cuando un movimiento periódico
oscilatorio vibratorio es armónico
simple cuando la fuerza es directamente
proporcional a la elongación al
desplazamiento
si sabemos
según la segunda ley de Newton que esta
fuerza es igual a el producto de la masa
por la aceleración de ella
y sustituimos esta fuerza Aquí vamos a
ponerlo por acá en vez de F vamos a
escribir masa por aceleración Entonces
esta masa que está multiplicando baja a
dividir y puedo determinar la
aceleración de esta masa en ese resorte
como menos la constante del resorte
dividido entre la masa por el la
elongación x vale energía en un
movimiento armónico simple Recuerda que
la energía es la capacidad para realizar
un trabajo y aquí hay trabajo porque hay
velocidad y porque hay deformación de un
resorte y recuerdas Cuál es la energía
de la velocidad donde tiene este sistema
la velocidad máxima este sistema tiene
su velocidad máxima en el punto de
equilibrio y ahí vamos a tener toda su
energía cinética Recuerdas la relación
matemática que te sirve para determinar
la energía cinética muy bien un medio de
la masa por la velocidad que lleva Ella
al cuadrado y en este punto la velocidad
es máxima y en los extremos aquí cuando
ella está comprimida totalmente en el
punto de su amplitud negativa tengo
energía potencial elástica y se puede
calcular como un medio de la constante
elástica del resorte por la deformación
al cuadrado por lo tanto toda esta
energía cinética se transforma en
energía potencial elástica y lo mismo
por acá cuando él se estira y llega al
punto más alejado donde tengo su
amplitud positiva también toda esta
energía cinética se ha transformado en
energía potencial elástica ley de la
conservación de la energía mecánica si
no hay fricción si no hay pérdidas de
energía por fuerzas no conservativas
entonces Recuerda que estamos ignorando
la fricción y toda esta energía se
transforma en esta un medio de la
constante elástica por la amplitud al
cuadrado y Qué pasa si estamos entre el
punto de equilibrio y el extremo en un
punto donde tengo una elongación x ahí
tengo las dos energías por qué porque
tengo una masa con velocidad y una masa
que ha deformado un resorte por lo tanto
tengo energía cinética más energía
potencial elástica un medio de la masa
por la velocidad que lleva la masa en
este punto al cuadrado más un medio de
la constante elástica por la elongación
al cuadrado Aquí no hay energía
potencial gravitacional en este ejemplo
porque ella se mueve horizontalmente no
cambia de altura si tengo una masa que
está oscilando verticalmente entonces sí
hay que tener en cuenta la energía
potencial gravitacional en este caso no
y ellas dos sumadas me dan la energía
total del sistema en este movimiento y
Observa que la suma de la energía
cinética más la energía potencial es
igual a la energía potencial elástica en
el extremo con toda la amplitud vale Esa
es la energía ahora qué vamos a hacer
observa Qué puedo hacer con esa ecuación
ahí tengo una ecuación algebraica que me
representa una igualdad en la energía
total del sistema
podemos qué podemos Cancelar aquí
podemos cancelar la masa no porque la
masa no está en todos los términos
podemos Cancelar x tampoco K está aquí
está aquí Ah pero no esto aquí podemos
cancelar un medio un medio y un medio Sí
vamos a cancelarlos los tres tintín que
me queda masa por velocidad al cuadrado
más cada por x cuadrado Igual acá por la
amplitud al cuadrado la intención que
tengo en este caso con esta igualdad es
totalmente válida en un movimiento
armónico simple es despejar la velocidad
una forma una manera de calcular la
velocidad de un sistema oscilante
teniendo su masa la constante elástica
su elongación y su amplitud ahí toma una
hoja de papel tu cuaderno y resuelve
despeja en esa ecuación la velocidad
cómo lo harías tengo una igualdad
quiero despejar la velocidad es lo
primero que le quito la masa no no no no
Primero le quito Este término para dejar
este término solo K x cuadrado que está
sumando pasa a restar acá a cuadrado y
observa matemáticamente aquí que puedo
hacer tengo k y K es un factor común
factoricemos recuerda caso de
factorización si factorizas te queda acá
como factor de a cuadrado menos x
cuadrado es decir la constante elástica
como factor de la amplitud que es la
máxima elongación al cuadrado menos la
elongación al cuadrado y aquí si quiero
despejar la velocidad esta masa que está
multiplicando pasa a dividir y solamente
me queda la operación inversa de Elevar
al cuadrado que es determinar la raíz
cuadrada Ya tengo la
plenitud de la velocidad o rapidez de
esta masa oscilante esta velocidad y se
calcula como la raíz cuadrada de la
constante elástica multiplicada por la
amplitud al cuadrado menos la elongación
al cuadrado y esto entre la masa su raíz
listo ahora encontré este esquema
en internet sobre
la relación entre un movimiento circular
uniforme y el movimiento armónico simple
entre un mcu y un más
esta bolita roja está en un movimiento
circular uniforme porque tiene
desplazamientos angulares iguales en
tiempos iguales es decir su velocidad
angular es constante
y la proyección de esta bola roja si tú
pones hipotéticamente un si esto es una
esfera
en el espacio y tú iluminas
con una lámpara y ver la proyección de
la sombra de esta esfera en una pared
vas a ver una sombra oscilante y eso
describe un movimiento armónico simple
por lo tanto hay una relación entre un
movimiento circular y un informe y un
movimiento armónico simple y ahí está
clarititico vamos a usar este mismo
esquema pero en nuestro sistema pongo la
bolita en movimiento circular en una
circunferencia
de radio a donde a es la amplitud
del sistema oscilante y si ahora estoy
en este punto es porque esta bolita está
en este punto se ha desplazado un ángulo
teta o tita este ángulo y tengo que este
es el radio de la circunferencia que es
la misma amplitud Ahora la proyección
del vector a sobre el eje x me da la
elongación x tengo el vector elongación
Esta es la velocidad de esta bolita en
movimiento circular uniforme tengo la
velocidad angular o la frecuencia
angular de este movimiento armónico
simple Recuerda la diferencia que hay
diferencia entre la frecuencia que es el
número de oscilaciones por unidad de
tiempo y la frecuencia angular que se
simboliza con la letra griega Omega
velocidad angular o frecuencia omega y
se calcula como dos pi radianes es decir
una vuelta entera por la frecuencia
número de vueltas por unidad de tiempo o
número de oscilaciones por unidad de
tiempo entonces la frecuencia angular de
este sistema oscilante se calcula como
dos pi por la frecuencia y su unidad en
el sistema internacional de medidas son
los radianes sobre segundo los
pirradianes vuelta entera sobre el
segundo y cómo la frecuencia es el
inverso del periodo también puedes
reemplazar sustituir esta frecuencia en
el en este producto la pasas al
denominador como periodo y tienes otra
relación También muy útil y muy
importante en el movimiento circular
uniforme y en el movimiento armónico
simple como la frecuencia angular es 2
pi sobre período de este punto hasta
este punto esta bolita me describe un
arco s y emplea un tiempo t ahora
recuerdas cómo se calcula esta velocidad
tangencia a lo lineal en un movimiento
circular uniforme puedes encontrar una
muy buena explicación de movimientos
circular uniforme aquí en mi canal Busca
escribe movimiento circular uniforme mcu
profesor Sergio Llanos recuerdas
entonces
la relación matemática para calcular la
velocidad tangencial o lineal en un
movimiento circular uniforme
Aquí está
velocidad V es igual a la velocidad
angular Omega por el radio y como el
radio es a es decir la amplitud de este
sistema Entonces esta velocidad
tangencial o lineal es la frecuencia
angular por la amplitud y también
recuerdas Cuál es la definición
fundamental de velocidad en este caso la
rapidez es el arco
dividido entre el tiempo es decir la
trayectoria la distancia recorrida entre
el tiempo y lo podemos sustituir aquí
como que esta velocidad es el arco el
arco es sobre el tiempo y ahora vamos a
hacer un intercambio entre a y t
algebraicamente este t por transposición
de términos que está dividiendo pasa a
multiplicar y esta a que está
multiplicando baja a dividir podemos
hacer el intercambio hagamos ese
intercambio algebraico y me queda de
esta forma quinta y ahora
recuerdas Qué es arco sobre radio el
arco sobre el radio el arco sobre el
radio es el ángulo Beta tú puedes
calcular este ángulo en radianes este
ángulo en radianes es el arco dividido
entre el radio Este es el ángulo deta y
tengo que este ángulo es igual a la
frecuencia angular por el tiempo y vamos
a sustituirlo aquí este ángulo es Omega
t ya con todos estos elementos vamos a
calcular determinar la
elongación en un movimiento armónico
simple la elongación como el este vector
que te marca el desplazamiento del
oscilador armónico en su posición desde
el punto de equilibrio hasta donde él
está
recuerdas trigonométricamente Observa
que aquí tengo un triángulo rectángulo
ángulo cateto cateto hipotenusa que es
razón trigonométrica me articula este
cateto que es el adyacente al ángulo
y la hipotenusa muy bien el coseno por
lo tanto si el coseno de Omega t es
cateto adyacente x sobre hipotenusa a
tengo que x es a por el coseno de Omega
t Esta es mi relación para determinar la
elongación en un movimiento armónico
simple dejémosla por acá
Vámonos con la velocidad en un
movimiento armónico simple y a partir de
esta velocidad vamos a encontrar la
proyección horizontal de esta velocidad
pongamos esta línea horizontal auxiliar
y este vector es la proyección del
vector velocidad llamémoslo vx Y esta vx
es la velocidad esta velocidad de este
oscilador armónico y cómo lo calculamos
para ello usemos unos trucos geométricos
trigonométricos
ángulo este ángulo Omega t en este
triángulo dónde va cómo va cómo lo
articulamos Observa que si el ángulo
Omega t está en estos dos vectores
verdes sus perpendiculares esta
perpendicular Roja de este vector y esta
perpendicular Roja de este vector ambas
perpendiculares forman el ángulo Omega t
y el ángulo Omega t lo podemos situar en
este punto aquí y como este es Omega t
el ángulo la velocidad en x viene siendo
el cateto opuesto a Omega t y al ser el
cateto opuesto en este triángulo
rectángulo Observa que esta velocidad
tiene una un sentido opuesto a esta
elongación como esta elongación la
consideramos positiva esta velocidad
apunta en sentido opuesto hacia la
izquierda
vamos a tenerla negativa y es igual a la
velocidad por el seno del ángulo omegate
y recuerda que la velocidad es la
frecuencia angular por la amplitud Y
tenemos ya la relación para determinar
la velocidad de este oscilador armónico
dejemos la por acá
elongación velocidad Observa que esta es
una función la elongación como función
del tiempo porque la amplitud es
constante la frecuencia angular es
constante porque es un movimiento
armónico simple y el tiempo es variable
tengo una función trigonométrica la
elongación como función coseno del
tiempo y la velocidad como función seno
del tiempo un seno negativo de acuerdo
él nos hace falta Claro que sí la
aceleración en un movimiento armónico
simple y vamos a partir de Cuál es la
aceleración en un movimiento circular
uniforme como Cuál es qué aceleración es
la que hay en un movimiento circular
claro la aceleración centrípeta que es
la que hace que la trayectoria de una
partícula de un objeto sea
circular listo entonces aceleración
centrípeta esta aceleración centrípeta
obviamente también va a tener su
proyección sobre el eje horizontal se me
arma este triángulo rectángulo Y esta es
la aceleración de este objeto que está
oscilando y este es el ángulo Omega t
porque este es el ángulo Omega t porque
tengo dos paralelas una transversal Y
estos dos ángulos son alternos internos
y como este es el ángulo Omega t y este
es cateto
adyacente vuelve a ser coseno pero la
dirección La dirección es la misma pero
el sentido es opuesto contrario también
viene siendo negativa y es la
aceleración centrípeta esta aceleración
centrípeta
por el coseno del ángulo Omega t y
recuerdas cómo se calculan un movimiento
circular uniforme de la aceleración
centrípeta relación matemática para la
aceleración centripeta claro la
velocidad al cuadrado sobre el radio
esta aceleración centrípeta velocidad al
cuadrado sobre el radio y en este caso
el radio es la amplitud Y recuerda que
la velocidad es la frecuencia angular
por el radio que es a y esto elevado al
cuadrado
propiedad algebraica de un producto
elevado al cuadrado podemos distribuir
esta potencia para los dos tanto para la
frecuencia angular como para la amplitud
y podemos Cancelar amplitud aquí y acá
y me queda la velocidad angular al
cuadrado por la amplitud Esa es la
aceleración centrípeta que vamos a
sustituir aquí y tenemos ya la relación
la aceleración como función del tiempo
una función coseno negativa Y ahora qué
puedes observar aquí mira que en la
amplitud por el coseno de Omega t a que
es igual esto
es esto de acá esto es igual a
la elongación mira la elongación por lo
tanto yo puedo reescribir la aceleración
de un sistema oscilante como menos la
frecuencia angular al cuadrado por la
elongación Observa que este sistema
oscilante lo hemos trabajado con el
ángulo inicial con este desplazamiento
con este tiempo este desplazamiento
angular en el tiempo desde acá hasta acá
pero qué pasa pongamos estas ecuaciones
por allá Qué pasa
si no empezamos en este en el extremo
sino un poquito más para allá un poquito
más para allá un poquito
primero un ángulo fi vamos a llamar este
ángulo fi letra griega fi
si iniciamos en fin este va a ser
nuestro Omega t en este va a ser nuestro
desplazamiento entonces podemos calcular
la elongación la velocidad y la
aceleración
aumentándole este desfase angular en el
ángulo es decir Omega t más pi Omega
temas pi si empezamos en este punto es
decir en el extremo pues pies 0 y Listo
Ya está nos queda que la elongación de
un sistema oscilante en ese punto es su
amplitud por el coseno de su frecuencia
angular por el tiempo más el desfase fi
que su velocidad
que es va en dirección opuesta a la
elongación también se puede calcular
como menos la frecuencia angular por la
amplitud por el seno de
la frecuencia angular por el tiempo más
el desfase fin y que la aceleración
en un movimiento armónico simple es
menos la frecuencia angular al cuadrado
por la amplitud por el coseno de la
frecuencia angular por el tiempo más
el desfase y lo mismo que habíamos dicho
Ahora quiero mostrarte
un simulador con un sistema oscilante
que te muestra cómo se pueden comportar
los vectores velocidad y aceleración en
un movimiento armónico simple el vector
aceleración es el vector rojo y el
vector velocidad es el vector azul
quiero que observes cuando pasa por el
punto de equilibrio cuando pasa por el
punto de equilibrio Observa que la
aceleración como habíamos dicho antes es
0 aquí
y es cero por qué Porque el resorte no
está comprimido ni estirado la fuerza es
cero la aceleración es cero pero tengo
toda su velocidad máxima mira que el
vector aquí
va cambiando vale listo muy bien en los
extremos en los extremos mira que la
velocidad es cero Aquí está en esta
dirección cero
cero y en los extremos la aceleración es
máxima porque tengo el máximo
estiramiento o compresión del resorte y
me está mostrando la aceleración basada
en la fuerza de restitución mira que el
resorte ala para allá empuja entonces la
aceleración va en la misma dirección
Sí aquí cambia de dirección el vector
aceleración es decir el vector fuerza
y he querido traerte
esta relación mira
qué vamos a identificar aquí tengo tres
circunferencias en un movimiento
circular tengo la elongación la
velocidad y la aceleración mira que esta
elongación en la proyección
bien Este es el movimiento armónico
simple pero voy a detenerlo
cuando estemos por aquí ahí quédate
quietito ahí y vamos a identificar las
gráficas de la elongación velocidad y
aceleración
Por qué las puse en este sistema
circular porque son funciones
trigonométricas y yo puedo graficar una
función trigonométrica a partir de un
círculo trigonométrico de el radio
dependiendo de este coeficiente tengo
el coseno mira que la Gráfica del coseno
es la verde es la amplitud y tengo un
coseno en su primer periodo
el vuelve Y se repite pero en el primer
periodo tengo un coseno positivo de
amplitud a
la velocidad
viene siendo un seno negativo mira que
la velocidad es la que está de color
rojo tengo una gráfica del seno negativo
en el punto de equilibrio donde el
sistema oscilante está en equilibrio
tengo su máxima velocidad y vuelve a
estar en equilibrio y vuelva a tener su
máxima velocidad y aceleración cero mira
que la aceleración es Cero en el punto
de equilibrio y tengo máxima velocidad y
la velocidad es máxima en la frecuencia
angular por la amplitud tengo velocidad
máxima en frecuencia angular por
amplitud positiva y velocidad máxima en
frecuencia angular por amplitud negativa
Aquí tengo las dos velocidades y con la
aceleración la aceleración es un coseno
negativo
este coseno negativo donde tengo su
máxima aceleración en los puntos donde
es cero aquí en estos puntos tengo
máxima aceleraciones en Omega cuadrado
por a y en menos Omega cuadrado por a
por lo tanto podemos determinar que la
elongación máxima
se da esta elongación máxima esta x
máxima se da en a en la amplitud que la
velocidad es máxima el rojo es máxima en
la frecuencia angular por la amplitud y
que la aceleración es máxima dónde dónde
dónde dónde dónde en la velocidad
angular al cuadrado o la frecuencia
angular al cuadrado por la amplitud en
un sistema oscilante ahí están las
gráficas analízalos interesante no Ah me
faltaba decir afirmar que todo esto que
acabamos de hacer es confí igual a cero
sin chin chin porque estamos empezando
en este punto ahora vamos a determinar
unas relaciones matemáticas
fundamentales importantes en un
movimiento circular para solucionar el
problema al final de la clase
tengo como ya lo habíamos manifestado
que la aceleración es menos la
frecuencia angular al cuadrado por la
elongación tengo la ley de hooke donde
la fuerza es igual a menos la constante
elástica por x y según la definición de
fuerza fuerza es igual a masa por la
aceleración y podemos sustituir esta
aceleración por menos Omega cuadrado x y
al hacer esta sustitución qué puedo
Cancelar aquí puedo Cancelar este
negativo con este negativo y esta
elongación con esta elongación porque
son productos y es una igualdad y me
queda que la constante elástica es la
frecuencia angular al cuadrado por la
masa si voy a despejar la frecuencia
angular está masa que está multiplicando
por transposición de términos pasa a
dividir y este Elevar al cuadrado sacó
raíz cuadrada y puedo encontrar la
frecuencia angular de un sistema
oscilante como la raíz cuadrada de la
constante elástica
dividido entre su masa
listo relación importante además
Recuerda que la frecuencia angular es
dos pi sobre período si alternamos
periodo con frecuencia angular tintum
vamos a encontrar el periodo en un
sistema oscilante en un resorte como el
que estamos trabajando sustituyamos esta
como raíz de K sobre m y
organicemos el ley de oreja Esto me
queda dos pi o ley de extremos y medios
raíz de esta m sube a multiplicar sobre
k y es otra relación importante para
calcular o determinar el periodo en un
resorte Esta es la relación para
encontrar el período en un resortemos
todo lo que hemos trabajado hasta ahora
en esta tabla Recuerda que las notas de
esta clase van a quedar aquí abajo en la
descripción del vídeo y vas a poder
encontrar esto bien organizadito es lo
que hemos trabajado hasta ahora
solucionemos un problema
de movimiento armónico simple este
problema es tomado del libro de física
universitaria de mansky y lo solucionaré
Aquí estos tres puntitos A B y C que
indica el movimiento del pistón de un
motor de automóvil Es aproximadamente un
movimiento armónico simple si la carrera
del pistón el doble de la amplitud es de
0.1 metros y el motor trabaja 3.500
revoluciones por minuto qué aceleración
tiene el pistón en el extremo de su
carrera Aquí tengo la carrera
aceleración por acá la parte B si el
pistón tiene una masa de 0.45 kilogramos
como el libro estábamos trabajando el
indicador decimal de punto lo dejé como
punto
recuerda que tenemos que especificar
si el indicador de decimales punto o
coma en esta clase en este vídeo el
indicador decimal será un punto
0.45 kilogramos qué fuerza neta debe
ejercerse sobre él en este punto ahí en
el extremo Y qué rapidez y energía
cinética tiene el pistón en el punto
medio de su carrera por acá
Vámonos con la primera parte la a si la
carrera del pistón que vamos a asumir
desde aquí hasta acá es el doble de la
amplitud la amplitud va desde el punto
de equilibrio he trazado esta línea guía
Esta es la amplitud entonces la carrera
de 0.1 metros es el doble de la amplitud
si esta carrera es el doble de la
amplitud Y es de 0.1 metros la amplitud
es entonces la mitad de la carrera y 0.1
metros dividido entre 2 me da de 0.05
metros tengo Ya mi amplitud Vale ahora
es esto que te dan aquí que el motor
trabaje a 3.500 rpm o revoluciones por
minuto que te están dando ahí la
frecuencia Y esa frecuencia son tres mil
quinientas revoluciones por cada minuto
vamos a convertir estas rpm al sistema
internacional de unidades es decir a los
Vámonos a los hertz 3500 revoluciones
por minuto pasemos estos minutos a
segundos
multiplicamos lo Por qué va en el
numerador minutos o segundos como vamos
a cancelar minutos con minutos un minuto
por acá son 60 Segundos cancelamos
minutos con minutos 3500 por uno sobre
60 me da
58.33 hertz 33 periódico pero nos vamos
a quitar quedar con estos dos tres y
vamos a trabajar con redondeos sin
embargo todos los cálculos yo los estoy
dejando en la calculadora
para seguirlos usando más adelante tengo
Ya mi frecuencia de 58.33 hertz dejemos
por aquí la amplitud y la frecuencia en
este motor en este pistón Recuerda que
tengo en en todo automóvil en toda
motocicleta tiene un motor de combustión
interna de cuatro tiempos
que utiliza como combustible en este
caso gasolina Aquí tengo en un pistón
cuatro válvulas dos de admisión y dos de
escape Esta es la bujía que genera la
chispa Este es el pistón dentro del
cilindro Esta es la biela y este es el
cigüeñal
en un motor de combustión interna de
cuatro tiempos que lo que hace es
transformar la energía química de la
gasolina en energía térmica en una
expansión termodinámica en el estallido
de la gasolina que empuja el pistón
genera una fuerza un hace un trabajo
sobre el pistón y se transforma en
energía mecánica que es lo que hace que
se mueva un automóvil es como la
bicicleta que tú tienes y lo que hace tu
pierna
uno lo que hace es transformar la
energía química de los alimentos en
energía mecánica
Bueno hay muchas energías
en energía térmica Porque nuestro cuerpo
debe trabajar más caliente que el medio
a 36 grados centígrados aproximadamente
nuestro cuerpo necesita energía
eléctrica por qué Porque todo nuestro
sistema neuronal trabaja con
electricidad nuestro corazón que es una
bomba hidráulica trabaja con energía
eléctrica el miocardio se comprime se
contrae con impulsos eléctricos Y de
dónde sacamos a esa energía en los
alimentos Por eso hay que alimentarse
muy bien pero sigamos con nuestro
problema en nuestro motor de combustión
interna de cuatro tiempos se preguntarán
Por qué cuatro tiempos los cuatro
tiempos son carrera de admisión
esperemos aquí la carrera de admisión
aquí succiona comprime estalla y saca
ingresa gasolina azul
aquí comprime estalla la bujía hace que
esa mezcla de aire combustible que viene
de acá del inyector mira que por aquí
entra aire y por aquí combustible Este
es el inyector de aire y combustible
entonces aire combustible comprime
estalla aquí Boom carrera de trabajo de
las cuatro la única carrera que hace
trabajo
y luego se abren estas válvulas y Saca
los humos producto de combustión por el
escape Ahí están los cuatro tiempos en
un motor se abren estas dos válvulas
admisión compresión trabajo y escape
pero volvamos a lo que estábamos
de aceleración tiene el pistón en el
extremo de su carrera Entonces cuál de
todas estas relaciones nos sirve para
determinar la aceleración del pistón en
el extremo de su carrera con lo que
tenemos que tenemos la amplitud y la
frecuencia entonces tengo aceleración
por acá pero no tenemos tiempo tenemos
aceleración por acá Ah pero nos dicen en
el extremo en el extremo Entonces es su
aceleración máxima
B por aquí está seo es Mírala Aquí está
entonces
Esta es la aceleración tengo la
frecuencia angular no pero la puedo
calcular Por qué Porque tengo la
frecuencia y con la frecuencia
multiplicada por dos pi tengo esta
frecuencia angular tengo la amplitud Ahí
está con estas dos vamos a usarlas aquí
están
empecemos a calcular la velocidad o la
frecuencia angular
dos pi radianes multiplicado por la
frecuencia que son
58.33 hertz dos pi por 58.33 me da
366.5 radianes por segundo hertz es uno
sobre segundo radianes por segundo esto
y ahora la aceleración la aceleración
Recuerda que es en este extremo por lo
tanto vamos a tener aceleración máxima
aquí en este punto Tengo esta amplitud
que ya tenemos de menos 0.05 metros y
sustituyamos la frecuencia angular que
ya calculamos elevada al cuadrado por la
amplitud que también tenemos menos por
menos es más si hacemos esta operación
en la calculadora y nos da de
6.716.81 metros sobre segundo al
cuadrado esto Ese es el punto a Vámonos
al punto B vamos dejando por aquí los
resultados obtenidos y las relaciones
matemáticas utilizadas si el pistón
tiene una masa de
0.45 kilogramos este pistón tiene esa
masa Qué fuerza neta debe ejercerse
sobre él en ese punto Entonces si tengo
esta masa de 45 kilogramos qué fuerza
qué fuerza se ejerce Recuerda que fuerza
simplemente es masa por aceleración Ya
tengo la masa tengo la aceleración
reemplazo sustituyó hago el producto y
me quedan
2022.57 newtons o
3.022 kilo Newton ya ese era el punto B
ya está Vámonos con el punto c el último
punto donde me preguntan la rapidez y la
energía cinética en el punto de
equilibrio aquí en la mitad de la
carrera esta energía cinética y está
velocidad y qué hacemos entonces
la velocidad máxima porque en el punto
de equilibrio la velocidad máxima es la
frecuencia angular por la amplitud y
tengo las dos tengo la frecuencia
angular tengo la amplitud sustituyó pim
Pam calculadora y me queda 18.33 metros
sobre segundo ya está esa es su
velocidad tanto subiendo como bajando y
la energía cinética también la energía
cinética es un medio de la masa por esta
velocidad al cuadrado tengo masa tengo
velocidad y acabé un medio de 0.45
kilogramos por su velocidad al cuadrado
me da
75.56 joules porque Jules porque es la
unidad de energía porque kilogramo por
metro cuadrado sobre segundo cuadrado es
y ya está hemos solucionado nuestro
problema soy el profesor Sergio Llanos
ingeniero mecánico de la Universidad del
valle en Cali Colombia Si esta clase te
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las notas de esta clase van a quedar
descargables aquí abajo en la
descripción del vídeo que tengas un gran
día
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