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Hola, vamos a obtener la ecuación de la elipse, la ecuación reducida, es decir, la que tiene como origen el origen de coordenadas, el centro de la elipse. Por definición, la elipse es un lugar geométrico, es el conjunto de puntos cuya distancia a otros dos dados, llamados focos, es constante.
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En el caso de la elipse centrada se puede observar fácilmente que la constante esta, la suma de distancias, coincide con la medida de este eje mayor. Escribimos que la distancia del punto al foco 1 más la distancia del punto al foco 2 sea igual a 2a.
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Poniendo estas distancias, la distancia del punto P al foco 1 será la raíz cuadrada de x menos c al cuadrado más y menos 0 al cuadrado. Distancia del punto al foco 1. Más, del mismo modo, la distancia del punto al foco 2 y tenemos igual a 2a.
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Para quitar las raíces lo que vamos a hacer en un procedimiento clásico es despejar una raíz, por ejemplo despejamos esta para luego elevar al cuadrado. Despejada esta raíz nos queda que la raíz esta es igual a 2a y pasamos restando la raíz de x menos t al cuadrado más y al cuadrado. Elevamos al cuadrado ambos términos y por una parte vamos a tener
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La raíz y elevado al cuadrado, se nos queda x más c al cuadrado más y al cuadrado. Y al desarrollar este binomio, tendremos cuadrado del primero, 4 al cuadrado, más...
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cuadrado del segundo, el cuadrado del segundo se anula la raíz y nos quedará lo de dentro erradicando x menos t al cuadrado más y al cuadrado menos el doble del primero por el segundo, en este caso 2 por 2, 4a por esta raíz.
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Desarrollamos ahora estos dos cuadrados por una parte. x menos c al cuadrado que nos quedará x cuadrado más t cuadrado más 2cx y x menos c al cuadrado que quedará x cuadrado más t cuadrado menos 2cx. Una vez que tenemos desarrollado esto podemos anular.
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Términos iguales que están en ambos lados y tendremos c al cuadrado y c al cuadrado, se puede anular. x al cuadrado y x al cuadrado se puede anular. y al cuadrado e y al cuadrado se puede anular. Una vez que tenemos esto, lo que vamos a hacer es despejar otra vez esta raíz para volver a elevar al cuadrado.
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si esta raíz la ponemos aquí a la izquierda tendremos 4a la raíz de x menos c al cuadrado más y al cuadrado igual a 4a al cuadrado y pasamos restando 2cx que sería con este junto con este 2cx menos 2cx sería menos 4cx simplificamos ya que todo está multiplicado por 4 y obtenemos esta expresión y volvemos a elevar al cuadrado elevamos al cuadrado
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Y desarrollando este cuadrado de aquí, tendremos cuadrado del primero a la cuarta más cuadrado del segundo c al cuadrado de x cuadrado menos el doble del primero por el segundo. En el otro término, la raíz se simplifica con el cuadrado. Nos quedará al elevar al cuadrado a al cuadrado que multiplica a todo lo que hay dentro de la raíz de este radicando.
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En este caso vamos a volver a desarrollar este binomio al cuadrado que será x cuadrado más c cuadrado menos 2cx y ahora lo que haremos es multiplicar por a al cuadrado, quitar este paréntesis, a al cuadrado x cuadrado más a al cuadrado c al cuadrado menos 2a cuadrado cx más a cuadrado y cuadrado. Una vez que tengamos esto,
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simplificando estos dos términos que son iguales -2 a al cuadrado cx a la izquierda -2 a al cuadrado cx a la derecha y dejando a la izquierda todos los términos que tienen las variables x e y tendremos ax cuadrado menos c al cuadrado x cuadrado más a al cuadrado y al cuadrado igual
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a la cuarta y pasando a la derecha al cuadrado c cuadrado menos a al cuadrado c cuadrado. Aquí podemos sacar factor común a x cuadrado que multiplica a a cuadrado menos c cuadrado x cuadrado esto lo dejamos tal cual y aquí podemos sacar factor común a al cuadrado que nos quedará multiplicando a al cuadrado menos c al cuadrado. Si observamos
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que en este triángulo que se nos forma este triángulo rectángulo y aplicando el teorema de Pitágoras resulta que este a al cuadrado menos c al cuadrado es igual a b al cuadrado. Así la expresión que tenemos, la ecuación que tenemos será bx cuadrado más a cuadrado y al cuadrado
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igual a al cuadrado por b al cuadrado. Si pasamos dividiendo a al cuadrado b al cuadrado al término de la izquierda obtenemos la expresión esta de aquí b al cuadrado x al cuadrado a al cuadrado b al cuadrado a cuadrado y cuadrado a cuadrado b al cuadrado. Si ahora
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simplificamos este b al cuadrado y este b al cuadrado se puede simplificar este a al cuadrado y este a al cuadrado se puede simplificar y tendremos la ecuación que buscamos x cuadrado entre a al cuadrado más y al cuadrado partido por b al cuadrado igual a 1 es decir
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llamada ecuación reducida de la herbicé donde los valores que aparecen aquí A es el semieje mayor y B es el semieje menor. En el caso
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Esto se podría generalizar en el caso de que la elipse no esté centrada en el origen, esté el centro en cualquier otro punto, la ecuación simplemente sería x menos la primera coordenada del centro al cuadrado, entre al cuadrado, más y menos segunda coordenada del centro al cuadrado partido por b al cuadrado, igual a 1.
