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estamos tan acostumbrados a la
tecnología que muy difícilmente podemos
pensar nuestras vidas sin ella
imaginemos por ejemplo cómo será nuestro
mundo si los aparatos electrónicos sin
las comunicaciones sin la producción
industrial a gran escala de alimentos
muebles y hasta ropa
pues así sería nuestro mundo muy similar
a éste a no sé por qué hace
aproximadamente 300 años se forjó una
revolución muy peculiar en las
matemáticas fue tan peculiar que
solamente hizo falta la existencia de
esto
a esa revolución en las matemáticas les
llamamos el cálculo y cuando digo
cálculo no me refiero a lo que dicen
algunas personas de vamos a hacer unos
cálculos no el cálculo es una de las
ramas más fascinantes de las matemáticas
y debemos existencia de los grandes
pensadores isaac newton y 'virgen
leading quienes a finales del siglo 17 y
cada quien por su parte lo descubrieron
actualmente toda la tecnología depende
del cálculo pero lo que realmente
preocupaba newton y leibniz no era lo
que tenían a su alrededor
sino más bien
las cosas
de allá arriba
newton nació en 1643 unas cuantas
décadas después de que el astrónomo
alemán johannes kepler descubriera que
las órbitas que recorren los planetas y
cometas alrededor del sol tienen la
forma de una elipse que barren áreas
iguales en tiempos iguales y que hay una
relación precisa entre la distancia de
un planeta al sol y el tiempo en que
tarda en dar una vuelta completa
estos hallazgos eran sorprendentes pero
kepler nunca pudo entender por qué los
planetas se movían alrededor del sol de
esa manera newton tenía en mente una
explicación de este fenómeno para ello
partió de la idea de que los movimientos
olímpicos de los planetas dependen del
mismo fenómeno que hace que las manzanas
se caigan de los árboles la gravedad
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newton es famoso justamente porque
descubrió que la gravedad es la fuerza
de atracción que experimentan todos los
cuerpos de la misma manera y lo
describió con esta fórmula que no hay
que tenerle mucho miedo porque lo que
nos explica lo siguiente la fuerza de
gravedad entre dos cuerpos por ejemplo
la tierra y el sol es proporcional al
producto de sus masas esto quiere decir
que entre más grande sean estos cuerpos
mayor será la atracción que haya entre
ellos e inversamente proporcional al
cuadrado de la distancia que hay entre
ellos lo que significa que entre mayor
distancia entre estos cuerpos la
atracción entre ellos va a ser menor
newton también descubrió que la fuerza
que se ejerce sobre un cuerpo es
equivalente al producto de su masa por
su aceleración esta es la famosa segunda
ley de newton
con toda esta fórmula con toda esta
fórmula newton estaba seguro que por ahí
estaba el secreto de la órbita elíptica
anteriormente descrita por kepler pero
el problema es que la ley de la gravedad
nos habla o nos describe la fuerza de
atracción entre los cuerpos pero en un
instante preciso en un momento
determinado y las órbitas elípticas son
el resultado de algo que ocurre en un
intervalo de tiempo más amplio digamos
por ejemplo el que ocupa un planeta en
darle una vuelta completa al sol aquí a
newton le faltaba algo que no existe en
ese momento le faltaba un método para
poder comprender los cambios o procesos
que tiene un fenómeno en un intervalo de
tiempo digamos indefinido a partir
de un momento específico o definido como
este
y lo sorprendente es que lo encontró ese
método es precisamente el cálculo con el
cálculo newton no sólo pudo demostrar
porque las órbitas de los planetas son
elipses y los círculos sino también
obtener fórmulas para encontrar la
posición de los planetas en el espacio
en cualquier momento fórmulas que por
cierto seguimos usando para determinar
la posición de nuestros satélites
artificiales
lo maravilloso de todo esto es que
newton se dio cuenta de que el cálculo
no solamente nos sirve para estudiar los
movimientos de los cuerpos celestes sino
que nos ayuda a estudiar matemáticamente
todos los fenómenos que cambian en el
tiempo y más aún todos los fenómenos en
donde una variable depende de otra
piensen en el vuelo de un proyectil por
ejemplo una flecha
desde tiempos muy antiguos se sabe que
la distancia que pueda alcanzar una
flecha depende de muchos factores uno de
ellos es por supuesto el tiempo de vuelo
pero también su peso
atención del arco y la velocidad del
grano
a partir del renacimiento se puede
pensar que esas relaciones pueden
ponerse en términos matemáticos por
ejemplo es claro que uno de los factores
que determinan la distancia que recorre
cualquier proyectil y hace una flecha o
un óvalo de cañón
es el ángulo de disparo
resulta claro que la distancia está
relacionada con el ángulo del cañón a
una relación como esta los matemáticos
la llamamos funciones en este caso
decimos que la distancia es una función
del ángulo de disparo la relación entre
el ángulo de disparo y la distancia no
es tan trivial
de hecho los matemáticos tardaron mucho
tiempo en encontrar la forma matemática
correcta para describir la trayectoria
de una bala de cañón
podemos observar muchas funciones a
nuestro alrededor
por ejemplo la velocidad con la cual
gira una patinadora está en función de
la posición de sus brazos está cuando
sale o en el mercado el precio de
cualquier producto depende de la oferta
y la demanda
y así podríamos infinitamente donde algo
cambio y hay una dependencia entre
variables el matemático descubre
funciones
el mundo está repleto de funciones entre
variables y el cálculo trata
precisamente de entender estas funciones
y su comportamiento digamos que es como
la psicología de las matemáticas
así como las personas tenemos días
buenos y malos
a funciones que tienen variaciones
de repente
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existen casos donde las funciones tienen
una cosa
hoy
y como a veces hay máximos
también hay mínimos
también existen funciones que sin
importar nada permanecen constantes en
fin las funciones que encontramos en la
naturaleza son tan variadas como el
comportamiento de las personas
el cálculo es la herramienta que nos
permite clasificarlas y entenderlas
para entender cómo funcionan las
herramientas del cálculo conviene
representar las funciones entre
variables un grado
en una gráfica el valor de una función
se representa con una
todos hemos visto una gráfica alguna vez
está por ejemplo representa la
temperatura promedio del cuerpo durante
el día está el crecimiento de la
población mundial en el último siglo y
está la temperatura promedio de la
superficie terrestre desde 1864 para
hacer una gráfica necesitamos que una
variable cambia en función de otra por
ejemplo un carro en movimiento un carro
tiene que frenar acelerar
cambiar de dirección y todo eso provoca
continuos cambios porque no se suben al
auto
con este coche podemos hacer los
movimientos básicos como acelerar
y frenar sin problema
usemos este vehículo para ver cómo se
construye una gráfica graphic haremos la
distancia que recorre el coche en
función del tiempo
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para nada
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observen que la libra gráfica siempre es
ascendente complicada
cuando el coche siempre alguna curva
tiene que frenar este cambio de
propósito
la forma de la gracia
y después cuando el coche entre en una
recta vuelve a acelerar la gráfica
cambia de forma
en las rectas la distancia recorrida
aumenta rápidamente en la gráfica vemos
este aumento en la pendiente de la curva
que se inclina más hacia arriba
pero en las curvas la reducción de
velocidad hace que la inclinación de la
línea sea menor
si bien en esta gráfica nos sirve para
definir la distancia recorrida en
función del tiempo la inclinación nos
revela otro dato la velocidad por
ejemplo aquí y aquí el auto va más
rápido y aquí y aquí va más lento
precisamente evaluar la inclinación de
la curva en cada instante es para lo que
sirve la herramienta fundamental del
cálculo la derivada
podemos pensar que las
como cambia otra función por ejemplo
hemos descubierto que la velocidad del
coche está representada por la
inclinación de la gráfica de la
distancia que recorre para medir esta
inclinación podemos dibujar una línea
recta que toca la curva en cada punto y
que tenga la misma inclinación que ella
podemos dibujar un triángulo con un lado
horizontal otro vertical y el tercero
si mantenemos fija la base del triángulo
y lo movemos a lo largo de la curva su
altura va cambiando es mayor cuando la
curva está más inclinada así que la
altura de esta línea es un buen
indicador de la inclinación de la gracia
qué les parece si gráfica mos el tamaño
de esta altura así obtendremos una
gráfica a partir de otra
fíjense muy bien
esta nueva gráfica cuando el auto va a
una velocidad constante la gráfica es
horizontal
cuando el auto disminuye la velocidad la
gráfica baja
y cuando la velocidad aumenta la gráfica
la nueva gráfica no es otra que la
gráfica de la velocidad en una conexión
de tiempo
la delicada de la distancia y la
velocidad
lo interesante es que obtuvimos la
gráfica de la velocidad sin estar viendo
directamente al velocímetro del auto
todo a partir de la gráfica de la
distancia en función del tiempo por lo
que deducimos entonces que la velocidad
es una derivada de la distancia pero
también conocemos que la velocidad se ve
alterada por el tiempo por lo tanto
también se puede derivar y que obtenemos
pues un dato muy importante que es la
aceleración y llegamos a otra conclusión
la distancia tiene dos derivadas la
primera de ellas la velocidad la segunda
la aceleración
podemos usar las derivadas para entender
matemáticamente las funciones de cosas
que cambian en periodos largos de tiempo
por eso cuando newton desarrolló por
primera vez el concepto pudo entender
por fin la razón de que las órbitas de
los planetas sean elípticas
lo que newton hizo fue considerar su
fórmula como una función y es que miren
en un periodo de un año la posición del
sol con respecto a los planetas cambia y
por lo tanto cambio también la
aceleración los cuerpos celestes nunca
mantienen la misma velocidad y esto es
muy notorio en los cometas que mientras
están más cercanos al sol su aceleración
es mayor y entre más lejanos esta
aceleración disminuye y es precisamente
en esta relación entre la posición de la
tierra con respecto a su aceleración que
newton descubre el secreto de las
órbitas elípticas lo que newton hizo fue
formalizar matemáticamente esta relación
utilizando la derivada con la derivada
newton pudo relacionar matemáticamente
la posición de los planetas con su
velocidad y su aceleración la derivada
le permitía por ejemplo obtener la
velocidad del planeta conociendo
solamente la gráfica de la posición pero
necesitaba una herramienta que le
permitiera realizar el proceso inverso
es decir obtener la posición de un
planeta
a partir de su velocidad
la derivada de la otra parte fundamental
del cálculo la conocemos como integral
desde afuera de un coche es fácil
graficar la distancia que recorre pero
si uno está adentro lo que tenemos más a
la mano es el velocímetro así que lo más
fácil en este caso no es graficar la
distancia sino la velocidad
como podemos conocer la distancia que
recorre el auto conociendo solo su
velocidad lo que necesitamos es
encontrar algo en esta gráfica que nos
permita realizar el proceso inverso a la
derivación analicemos una gráfica
sencilla de la velocidad por ejemplo
cuando vamos a una velocidad constante
es claro que la distancia recorrida
aumenta proporcionalmente al tiempo
si vamos a 60 kilómetros por hora
después de dos horas habremos recorrido
120 kilómetros en total estos 120
kilómetros los podemos visualizar como
el área del rectángulo que se forma
debajo de la curva de la gráfica
esa relación se conserva aún cuando la
velocidad varía siempre la distancia
recorrida corresponde al área debajo de
la curva
así que si gráfica mos cómo crece esa
área con el tiempo obtendremos más ni
menos la gráfica de la distancia
recorrida
encontrar la función que permite
calcular el área bajo la curva de una
función es el proceso inverso a derivar
y es precisamente la segunda pieza clave
del cálculo el proceso se llama integral
y la función resultante la integral de
la función original
es muy difícil calcular directamente el
área de una figura completa pero todo el
mundo sabe calcular el área de un
rectángulo
pase por altura
así que una forma de encontrar un valor
aproximado para el área bajo la gráfica
de una función es llenarla de pequeños
rectángulos y sumar sus áreas
es fácil darse cuenta que mientras más
angosto sean los rectángulos que
pongamos bajo la curva más exacto será
nuestro cálculo del área
lo que encontraron newton y lighting es
la manera de hacer estos rectángulos
verdaderamente chiquitos que tampoco es
infinita
de hecho el símbolo que inventó limits
para indicar la integral de una función
es una s de suma y una especie desde
chiquita significa algo así como la suma
de una infinidad de pequeño rectángulo
si nos parece muy extraña la idea de
sumar una infinidad de rectángulos
infinitamente pequeños no se preocupen
porque para newton light mix y otros
matemáticos que les precedieron fue un
verdadero dolor de cabeza pero dejando
de lado todos los problemas filosóficos
que nos plantea el cálculo si conocemos
una función a través de la derivada
vamos a saber cómo cambia en el tiempo y
si sabemos cómo cambia en el tiempo a
través de la integral vamos a saber de
cuál función se trata
con la derivada de la integral los
científicos por fin tuvieron las
herramientas necesarias para entender
matemáticamente todos los fenómenos que
cambian con el tiempo combinando las
derivadas con las integrales
transformaron muchas de las viejas
fórmulas que conocían en nuevas fórmulas
que podrían estudiarse por medio del
cálculo
pues aquí está de nuevo la fórmula de
newton recuerden aquí tenemos la
distancia aquí tenemos la aceleración
que hay que recordar
una derivada de la velocidad en función
del tiempo la que a su vez
es una derivada
de la distancia
en función del tiempo y bueno pues
obtenemos una ecuación que aparentemente
es muy compleja tenemos de este lado a
la distancia solita y acá la tenemos
como una segunda derivada a este tipo de
ecuaciones se les llama ecuaciones
diferenciales
las ecuaciones diferenciales son
parecidas a las ecuaciones entre
variables que aprendemos en la
secundaria pero la incógnita no es un
número sino una función
por eso resolver ecuaciones
diferenciales es muy difícil una vez que
newton convirtió su fórmula en una
ecuación diferencial 1 resolverla
utilizando las dos herramientas básicas
del cálculo y llegar a la conclusión de
que la forma de la órbita de un planeta
que gira alrededor del sol impulsado por
la fuerza de gravedad necesariamente
tiene que ser dada por una ecuación como
ésta
es la ecuación de una figura cónica es
decir una hipérbola parábola o elipse
pero las hipérboles y parábolas son
abiertas es decir describen órbitas de
cuerpos que una sola vez es cercana al
sol y después se alejan para siempre
como este no es el caso de los planetas
y los cometas conocidos newton concluyó
que sus órbitas sólo pueden tener una
forma la de un el ics
este descubrimiento es sin duda uno de
los logros más grandes de la
civilización desde entonces no se puede
conseguir al mundo sin el calcio
la tecnología fue una de las actividades
más beneficiadas con el nacimiento del
cálculo el cálculo permitió diseñar
nuevas máquinas y edificar
construcciones que nadie había imaginado
hoy mismo el cálculo es sin duda la
herramienta matemática más importante de
la industria todo lo que se produce a
gran escala necesita calcular
desde la construcción de un gigantesco
puente capaz de soportar grandes fuerzas
durante muchos años hasta el diseño de
una sencilla lata
qué tiene que almacenar la mayor
cantidad de líquido gastando la menor
cantidad de aluminio en su fabricación
se empiezan a dar cuenta porque toda la
producción industrial depende del
cálculo como ya vimos las latas de
refresco las sillas de los escritorios
los teléfonos todo se diseña para
maximizar algunas variables y minimizar
otras y para eso se aplican las
derivadas y si el cálculo es
imprescindible para la industria es aún
más importante para la ciencia la unión
del cálculo con la ciencia es un
matrimonio indivisible no se podría
imaginar la física sin cálculo
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y la química y la economía y bueno la
mala noticia para quienes no les gustan
las matemáticas pero si los animales es
que ni siquiera la biología se escapa
del cálculo por ejemplo los biólogos que
estudian las extinciones de especies a
menudo tienen que entender cómo se
comporta una población de animales en el
tiempo
si una población vive sin restricciones
de alimentación la cantidad de
individuos de la especie puede aumentar
indefinidamente como en el caso de estas
bacterias
en otras palabras si tomamos la cantidad
de individuos en función del tiempo su
derivada será una constante multiplicada
por ella misma
hasta que empieza a escasear el alimento
y la población decrece también de manera
proporcional al número de individuos
ambos fenómenos suceden con frecuencia
en la naturaleza más interesante es si
los animales tienen suficiente comida
pero enfrentan depredadores por ejemplo
aquí vemos las poblaciones de conejos y
coyotes que comparten un mismo hábitat
primero los coyotes se dan un atracón y
los conejos disminuyen
cuando quedan pocos conejos los
depredadores empiezan a su vez a
desaparecer por falta de alimento lo que
permite que aumente la población de
conejos y así se sigue indefinidamente
esta situación puede graficar se en un
plano si aceptamos que ahora en una
dirección se mide la cantidad de conejos
y en la otra la de coyotes la figura
resultante describe el comportamiento
del ecosistema de conejos y coyotes y
puede modelar se con una ecuación
matemática que a diferencia de las
ecuaciones comunes incluye derivadas de
las cantidades por lo tanto lo que
tenemos es una ecuación diferencial que
se puede resolver con las herramientas
del cálculo la derivada y la integral
resolviendo la ecuación diferencial
podemos saber cómo cambia la población
de conejos y coyotes en el tiempo
modelos como este pero con muchas más
variables se utilizan para estudiar las
aplicaciones de especies en ecosistemas
reales y para determinar las acciones
que deben de tomarse para proteger a una
especie particular de la extinción
en los siglos 18 19 el 20 los
matemáticos formalizaron el cálculo y
desarrollaron técnicas para poder
estudiar las funciones cada vez más
completas que utiliza la ciencia para
explicar los fenómenos físicos y
biológicos dando origen a nuevas ramas
de las matemáticas que surgen a partir
del cálculo como los sistemas dinámicos
y la geometría diferencial derivadas
integrales y ecuaciones diferenciales
esa es la esencia del cálculo su estudio
es fascinante aunque para hacerlos muy
honesto a veces es muy difícil incluso
los matemáticos seguimos estudiando
seguimos investigando muchos aspectos
que aún no nos quedan claros pero que no
nos extraña de una herramienta que nos
permite entender tantos fenómenos de
nuestro entorno pero ahora que si
ustedes quieren seguir cualquier carrera
universitaria
vale la pena aprenderlo porque
mejor sigan
medicina cálculo
genética
astronomía cálculo
duke estudié literatura
bueno ni siquiera el cálculo es perfecto
entienden ahora por qué es tan
importante el cálculo es la herramienta
matemática que ha permitido crear
nuestra tecnología y estudiar todo lo
que nos rodea
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